Commentaire sur l'article

• Juin 2019, 1er défi

  le 7 juin 2019 à 08:38, par mesmaker

  Une petite aide d’un tableur quelconque donne le résultat :
  La population a 2401personnes (2401 = 49*49).
  Si on lui rajoute 100 cela donne 2501 = 50*50+1.
  Si on lui rajoute 200 cela donne 2601 = 51*51.

  Je savais que la population devait être assez petite car la différence entre deux carrés consécutifs grandit vite, ce sont les nombres impairs. Donc une différence de 200 entre deux carrés parfaits, de plus non consécutifs, implique des carrés parfaits assez petits.

  Sinon il aurait fallut résoudre des équations diophantiennes :
  n^2 + 100 = m^2+1
  n^2 + 200 = p^2
  équivalent à
  n^2 -m^2 = (n+m)(n-m) = -99
  (n-p)(n+p) = -200
  et tester les diviseurs de -99 et -200 pour trouver n=49, m=50 et p=51.

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• Juin 2019, 1er défi

  le 7 juin 2019 à 08:58, par François

  De n^2 + 100 = m^2 +1 et de n^2 + 200 = p^2 on en déduit que p^2 - m^2 = 101 qui est un nombre premier donc p - m = 1 et p + m =101 d’où p = 51 et n^2 = 2401. (qui est le carré de 49)

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• Juin 2019, 1er défi

  le 7 juin 2019 à 09:04, par Al_louarn

  Nous avons trois entiers $x,y,z$ tels que
  $x^2 + 100 = y^2 + 1$
  $y^2 + 1 + 100 = z^2$
  d’où
  $x^2 = z^2 - 200$ et $z^2 - y^2 = 101$
  La seconde égalité donne $(z-y)(z+y) = 101$
  Comme $101$ est premier on a forcément $z-y=1$ et $z+y=101$.
  En additionnant on trouve $2z=102$ d’où $z=51$.
  On en déduit que la population initiale est $x^2=51^2-200=2401=49^2$

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• Juin 2019, 1er défi

  le 8 juin 2019 à 17:21, par ROUX

  n=a^2.
  n+100=b^2+1 ou b^2-a^2=99 ou (b+a)*(b-a)=99=3*3*11.
  3*3*11, cela fait trop de possibilités pour a et b.
  Là, je me suis dit que si je trouvais de quoi n’avoir qu’une possibilité, ce serait gagné.
  b^2+1+100=c^2 ou c^2-b^2=101 ou (c+b)*(c-b)=101.
  101 est premier et 101=101*1 donc c=51 et b=50.
  Avec b=50, 3*3*11 ne me sert à rien ; il vaut mieux que je prenne 99, avec lequel je ne peux que faire a=49.
  Dès lors, n=49^2=2401.
  La population initiale de cette ville est de 2401 personnes.

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• Sans calculer n

  le 9 juin 2019 à 12:58, par Daniate

  Les deux différences 99 et 101 sont des impairs consécutifs ce qui n’est possible qu’avec 3 entiers consécutifs n, n+1, n+2 ( ce qui , au passage, donne tout de suite 2n+1= 99 mais je poursuis autrement).

  Le produit (2n+1)(2n+3) s’écrit 4n²+4(2n+1)-1
  ce qui donne une population n² de (99 x 101 +1 - 4x99)/4 = 2401

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• Juin 2019, 1er défi

  le 19 juin 2019 à 06:47, par Michel Marcus

  En général, avec un augmentation paire = 2*k, la population initiale est k-1.
  Mais parfois, la population initiale peut être plus petite.
  Par exemple, avec une augmentation de 56, la population initiale peut aussi être 9.
  En effet, 9ç1 = 64 (un carré) et 9+112 = 121 (un carré).

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• Juin 2019, 1er défi

  le 19 juin 2019 à 10:39, par Michel Marcus

  Oops, c’était 9 + 56 - 1 = 64 (un carré).

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