Un défi par semaine

Juin 2019, 1er défi

Le 7 juin 2019  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (7)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2019 est en librairie !

Semaine 23

La population d’une ville est un nombre entier au carré. Avec $100$ personnes de plus, la nouvelle population devient le carré d’un nombre entier plus $1$. Et avec une autre augmentation de $100$ personnes, la nouvelle population est à nouveau un carré. Quelle est la population initiale de cette ville ?

Solution du 5e défi de mai :

Enoncé

La réponse est : l’expérience $1$.

Si l’on suppose que $X=5$ a été obtenu avec la première expérience, la probabilité d’obtenir un tel résultat en lançant un dé à $6$ faces est de $1/6$. Si l’on suppose que $X=5$ a été obtenu à l’issue de la seconde expérience, la probabilité est de $(1/2)^5 = 1/32$. Bien sûr il reste une part de hasard, mais en termes de probabilités, il est plus probable que le résultat $X=5$ provienne de la première expérience.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juin 2019, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Commentaire sur l'article

  • Juin 2019, 1er défi

    le 7 juin à 08:38, par mesmaker

    Une petite aide d’un tableur quelconque donne le résultat :
    La population a 2401personnes (2401 = 49*49).
    Si on lui rajoute 100 cela donne 2501 = 50*50+1.
    Si on lui rajoute 200 cela donne 2601 = 51*51.

    Je savais que la population devait être assez petite car la différence entre deux carrés consécutifs grandit vite, ce sont les nombres impairs. Donc une différence de 200 entre deux carrés parfaits, de plus non consécutifs, implique des carrés parfaits assez petits.

    Sinon il aurait fallut résoudre des équations diophantiennes :
    n^2 + 100 = m^2+1
    n^2 + 200 = p^2
    équivalent à
    n^2 -m^2 = (n+m)(n-m) = -99
    (n-p)(n+p) = -200
    et tester les diviseurs de -99 et -200 pour trouver n=49, m=50 et p=51.

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    • Juin 2019, 1er défi

      le 7 juin à 08:58, par François

      De n^2 + 100 = m^2 +1 et de n^2 + 200 = p^2 on en déduit que p^2 - m^2 = 101 qui est un nombre premier donc p - m = 1 et p + m =101 d’où p = 51 et n^2 = 2401. (qui est le carré de 49)

      Répondre à ce message
  • Juin 2019, 1er défi

    le 7 juin à 09:04, par Al_louarn

    Nous avons trois entiers $x,y,z$ tels que
    $x^2 + 100 = y^2 + 1$
    $y^2 + 1 + 100 = z^2$
    d’où
    $x^2 = z^2 - 200$ et $z^2 - y^2 = 101$
    La seconde égalité donne $(z-y)(z+y) = 101$
    Comme $101$ est premier on a forcément $z-y=1$ et $z+y=101$.
    En additionnant on trouve $2z=102$ d’où $z=51$.
    On en déduit que la population initiale est $x^2=51^2-200=2401=49^2$

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  • Juin 2019, 1er défi

    le 8 juin à 17:21, par ROUX

    n=a^2.
    n+100=b^2+1 ou b^2-a^2=99 ou (b+a)*(b-a)=99=3*3*11.
    3*3*11, cela fait trop de possibilités pour a et b.
    Là, je me suis dit que si je trouvais de quoi n’avoir qu’une possibilité, ce serait gagné.
    b^2+1+100=c^2 ou c^2-b^2=101 ou (c+b)*(c-b)=101.
    101 est premier et 101=101*1 donc c=51 et b=50.
    Avec b=50, 3*3*11 ne me sert à rien ; il vaut mieux que je prenne 99, avec lequel je ne peux que faire a=49.
    Dès lors, n=49^2=2401.
    La population initiale de cette ville est de 2401 personnes.

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  • Sans calculer n

    le 9 juin à 12:58, par Daniate

    Les deux différences 99 et 101 sont des impairs consécutifs ce qui n’est possible qu’avec 3 entiers consécutifs n, n+1, n+2 ( ce qui , au passage, donne tout de suite 2n+1= 99 mais je poursuis autrement).

    Le produit (2n+1)(2n+3) s’écrit 4n²+4(2n+1)-1
    ce qui donne une population n² de (99 x 101 +1 - 4x99)/4 = 2401

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  • Juin 2019, 1er défi

    le 19 juin à 06:47, par Michel Marcus

    En général, avec un augmentation paire = 2*k, la population initiale est k-1.
    Mais parfois, la population initiale peut être plus petite.
    Par exemple, avec une augmentation de 56, la population initiale peut aussi être 9.
    En effet, 91 = 64 (un carré) et 9+112 = 121 (un carré).

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    • Juin 2019, 1er défi

      le 19 juin à 10:39, par Michel Marcus

      Oops, c’était 9 + 56 - 1 = 64 (un carré).

      Répondre à ce message

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