Un défi par semaine

Juin 2019, 2e défi

El 14 junio 2019  - Escrito por  Ana Rechtman Ver los comentarios (10)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2019 est en librairie !

Semaine 24

En continuant le schéma, dans quelle position se trouve le nombre $2019$ ? (On numérotera les colonnes de gauche à droite et les lignes de haut en bas.)

Solution du 1er défi de juin :

Enoncé

La solution est $2401$ personnes.

Soient $a$, $b$ et $c$ des entiers positifs tels que $a^2$ représente la population initiale, $b^2 + 1$ la population après la première augmentation de $100$ personnes, et finalement $c^2$ la population après la seconde augmentation. On a alors :
\[ a^2 + 100 = b^2 + 1\qquad\text{et} \qquad b^2 + 101 = c^2. \]

Ainsi, $c^2 - a^2 = 200$, d’où $(c-a)(c+a) = 200$. Puisque la décomposition de $200$ en facteurs premiers est $200 = 2^3 \times 5^2$, en considérant les diviseurs de $200$ et en tenant compte du fait que $c+a\geq c-a > 0$, on a les possibilités suivantes :
$$ \begin{array}{llcl} c+a = 200, & c-a = 1 & \Longrightarrow & \text{$c$ n'est pas un entier ;}\\ c+a = 100, & c-a = 2 & \Longrightarrow & \text{$c = 51$ et a = 49 ;}\\ c+a = 50, & c-a = 4 & \Longrightarrow & \text{$c = 27$ et $a = 23$ ;}\\ c+a = 40, & c-a = 5 & \Longrightarrow & \text{$c$ n'est pas un entier ;}\\ c+a = 25, & c-a = 8 & \Longrightarrow & \text{$c$ n'est pas un entier ;}\\ c+a = 20, & c-a = 10 & \Longrightarrow & \text{$c =15$ et $a = 5$.} \end{array} $$ Étudions les différents cas possibles : dans les premier, quatrième et cinquième cas, $c$ ne serait pas un nombre entier, et on peut donc les éliminer. Dans le deuxième cas, les équations \[ 49^2 + 100 = 50^2 + 1 \qquad \text{et} \qquad 50^2 + 101 = 51^2 \] sont satisfaites. Dans le troisième cas, on a $23^2 + 100 - 1$, qui n'est pas un carré. De la même manière, dans le dernier cas, $25 + 100 - 1$ n'est pas un carré. Par conséquent, la population initiale de la ville est de $49^2 = 2401$ personnes.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Para citar este artículo:

Ana Rechtman — «Juin 2019, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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  • Juin 2019, 2e défi

    le 14 de junio de 2019 à 08:51, par ROUX

    La première colonne est numérotée 1.
    La première ligne est numérotée 1.
    Le premier entier de chaque colonne impaire est son carré.
    Le premier entier de chaque ligne paire est son carré.
    44^2 < 2019 < 45^2 et 45^2 = 2025 et 2025 - 2019 = 6.
    6 < 45 donc 2019 sera dans la 45ème colonne plutôt que dans la 44ème ligne.
    Donc, je me mets en haut de la 45ème colonne et je descends jusqu’à 2019 soit la 7ème ligne. (25 1 24 2 23 3 22 4 21 5 20 6 19 7).
    (Colonne,Ligne) : (45,7)

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