Un défi par semaine

Juin 2019, 2e défi

Le 14 juin 2019  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (9)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2019 est en librairie !

Semaine 24

En continuant le schéma, dans quelle position se trouve le nombre $2019$ ? (On numérotera les colonnes de gauche à droite et les lignes de haut en bas.)

Solution du 1er défi de juin :

Enoncé

La solution est $2401$ personnes.

Soient $a$, $b$ et $c$ des entiers positifs tels que $a^2$ représente la population initiale, $b^2 + 1$ la population après la première augmentation de $100$ personnes, et finalement $c^2$ la population après la seconde augmentation. On a alors :
\[ a^2 + 100 = b^2 + 1\qquad\text{et} \qquad b^2 + 101 = c^2. \]

Ainsi, $c^2 - a^2 = 200$, d’où $(c-a)(c+a) = 200$. Puisque la décomposition de $200$ en facteurs premiers est $200 = 2^3 \times 5^2$, en considérant les diviseurs de $200$ et en tenant compte du fait que $c+a\geq c-a > 0$, on a les possibilités suivantes :
$$ \begin{array}{llcl} c+a = 200, & c-a = 1 & \Longrightarrow & \text{$c$ n'est pas un entier ;}\\ c+a = 100, & c-a = 2 & \Longrightarrow & \text{$c = 51$ et a = 49 ;}\\ c+a = 50, & c-a = 4 & \Longrightarrow & \text{$c = 27$ et $a = 23$ ;}\\ c+a = 40, & c-a = 5 & \Longrightarrow & \text{$c$ n'est pas un entier ;}\\ c+a = 25, & c-a = 8 & \Longrightarrow & \text{$c$ n'est pas un entier ;}\\ c+a = 20, & c-a = 10 & \Longrightarrow & \text{$c =15$ et $a = 5$.} \end{array} $$ Étudions les différents cas possibles : dans les premier, quatrième et cinquième cas, $c$ ne serait pas un nombre entier, et on peut donc les éliminer. Dans le deuxième cas, les équations \[ 49^2 + 100 = 50^2 + 1 \qquad \text{et} \qquad 50^2 + 101 = 51^2 \] sont satisfaites. Dans le troisième cas, on a $23^2 + 100 - 1$, qui n'est pas un carré. De la même manière, dans le dernier cas, $25 + 100 - 1$ n'est pas un carré. Par conséquent, la population initiale de la ville est de $49^2 = 2401$ personnes.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juin 2019, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Commentaire sur l'article

  • Juin 2019, 2e défi

    le 14 juin à 08:51, par ROUX

    La première colonne est numérotée 1.
    La première ligne est numérotée 1.
    Le premier entier de chaque colonne impaire est son carré.
    Le premier entier de chaque ligne paire est son carré.
    44^2 < 2019 < 45^2 et 45^2 = 2025 et 2025 - 2019 = 6.
    6 < 45 donc 2019 sera dans la 45ème colonne plutôt que dans la 44ème ligne.
    Donc, je me mets en haut de la 45ème colonne et je descends jusqu’à 2019 soit la 7ème ligne. (25 1 24 2 23 3 22 4 21 5 20 6 19 7).
    (Colonne,Ligne) : (45,7)

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    • Juin 2019, 2e défi

      le 14 juin à 10:30, par Daniate

      Bonjour, vous pouvez vous intéresser au 1er défi de Mars 2015, époque où je pouvais encore aligner deux idées sans trop de confusion.

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      • Juin 2019, 2e défi

        le 14 juin à 11:42, par ROUX

        Ah voilà !
        Le défi d’aujourd’hui me disait quelque chose !
        Je vous remercie !

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      • Juin 2019, 2e défi

        le 14 juin à 11:43, par ROUX

        Dois-je rebondir sur la fin lugubre de votre message :-(...

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    • Juin 2019, 2e défi

      le 14 juin à 17:40, par Niak

      Histoire de donner une formule (dont l’utilité reste limitée)...
      Si on numérote tout à partir de $0$, pour $(x,y)$ la position de $n$, en notant $r = \lfloor\sqrt{n}\rfloor$ et $m = n - r^2$, on a\[(x,y) = \left\lbrace\begin{array}{ll} (r, m) & \text{si } r \text{ impair et } m\leq r\\ (2r-m, r) & \text{si } r \text{ impair et } m>r\\ (m, r) & \text{si } r \text{ pair et } m\leq r\\ (r, 2r-m) & \text{si } r \text{ pair et } m>r \end{array}\right.\]Pour $2019$, on a $n=2018$, $r=44$ et $m=82$ d’où $(x,y) = (r,2r-m) = (44,6)$.

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      • Juin 2019, 2e défi

        le 16 juin à 20:30, par Al_louarn

        Comme vos formules sont des combinaisons linéaires de $r$ et $m$, je me suis amusé à les condenser en une seule, sous forme matricielle. Avec $u = r\mod2$, puis $v=\lfloor \dfrac{m}{r+1} \rfloor$, et enfin quelques $0$ purement esthétiques, j’obtiens :
        \[ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0+u & 1-u \\ {1-u} & 0+u \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {1+v} & 0-v \\ {0+v} & 1-v \end{pmatrix} \begin{pmatrix} r \\ m \end{pmatrix} \]

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        • Juin 2019, 2e défi

          le 19 juin à 12:36, par Daniate

          Et par pure paresse, je fais un copier-collé venu du 1er defi mars 2015 :

          Je propose 3 formules, les 2 premières calculent les coordonnées d’un nombre dans un repère gradué avec (1 ;1) comme origine.

          n est le nombre , e est la partie entière de sa racine carrée, abs est la valeur absolue.

          x = e + 1 + (((-1)^e)(n-e²-e-1)-abs(n-e²-e-1))/2

          y = e + 1 + (((-1)^(e+1))(n-e²-e-1)-abs(n-e²-e-1))/2

          La troisième calcule la valeur d’un nombre connaissant ses coordonnées :

          n=(x²+y²-x-y+2+(y-x)((-1)^x+(-1)^y)+(abs(x-y))(x + y-1+(-1)^x-(-1)^y))/2

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          • Juin 2019, 2e défi

            le 21 juin à 16:48, par Niak

            En effet. Au passage, si l’on se donne une fonction $c:\mathbb{Z}\rightarrow\{-1,1\}$ et que l’on pose (à partir de deux fonctions quelconques $f^+$ et $f^-$ sur les entiers) \[f(n) = \left\lbrace\begin{array}{ll}f^+(n) & \text{si }c(n)=1\\ f^-(n) & \text{si }c(n)=-1\end{array}\right.\] alors $f(n) = \frac{1}{2}(f^+(n)+f^-(n)+c(n)(f^+(n)-f^-(n)))$.
            Pour tester la parité de $n$, on peut choisir $c(n)=(-1)^n$.
            Pour tester le signe de $n$, on peut choisir $c(n)=\frac{2n+1}{|2n+1|}$, aisément adaptable à des comparaisons plus générales en fonction de $n$.
            Cela permet de transformer de façon complètement automatique la formule par cas en formules analogues à celles que vous proposez (peut-être d’ailleurs aviez-vous procédé de façon similaire pour les construire à l’époque).

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            • Juin 2019, 2e défi

              le 22 juin à 10:08, par Daniate

              Bonjour,

              A l’époque j’étais parti d’un algorithme identique au votre. J’ai remplacé les tests par les fonctions caractéristiques d’un ensemble E : f(x)=1 si x appartient à E et f(x)=0 sinon.

              Sans chercher aussi loin j’ai posé f(n) =[1+(-1)^n]/2 pour la parité
              et p(n) =[(abs(p-n)/(p-n))+1]/2 pour n<p.

              Donc en effet quelque chose d’assez proche mais nettement moins élaboré.

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