Un défi par semaine

Juin 2019, 2e défi

Le 14 juin 2019  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (10)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2019 est en librairie !

Semaine 24

En continuant le schéma, dans quelle position se trouve le nombre $2019$ ? (On numérotera les colonnes de gauche à droite et les lignes de haut en bas.)

Solution du 1er défi de juin :

Enoncé

La solution est $2401$ personnes.

Soient $a$, $b$ et $c$ des entiers positifs tels que $a^2$ représente la population initiale, $b^2 + 1$ la population après la première augmentation de $100$ personnes, et finalement $c^2$ la population après la seconde augmentation. On a alors :
\[ a^2 + 100 = b^2 + 1\qquad\text{et} \qquad b^2 + 101 = c^2. \]

Ainsi, $c^2 - a^2 = 200$, d’où $(c-a)(c+a) = 200$. Puisque la décomposition de $200$ en facteurs premiers est $200 = 2^3 \times 5^2$, en considérant les diviseurs de $200$ et en tenant compte du fait que $c+a\geq c-a > 0$, on a les possibilités suivantes :
$$ \begin{array}{llcl} c+a = 200, & c-a = 1 & \Longrightarrow & \text{$c$ n'est pas un entier ;}\\ c+a = 100, & c-a = 2 & \Longrightarrow & \text{$c = 51$ et a = 49 ;}\\ c+a = 50, & c-a = 4 & \Longrightarrow & \text{$c = 27$ et $a = 23$ ;}\\ c+a = 40, & c-a = 5 & \Longrightarrow & \text{$c$ n'est pas un entier ;}\\ c+a = 25, & c-a = 8 & \Longrightarrow & \text{$c$ n'est pas un entier ;}\\ c+a = 20, & c-a = 10 & \Longrightarrow & \text{$c =15$ et $a = 5$.} \end{array} $$ Étudions les différents cas possibles : dans les premier, quatrième et cinquième cas, $c$ ne serait pas un nombre entier, et on peut donc les éliminer. Dans le deuxième cas, les équations \[ 49^2 + 100 = 50^2 + 1 \qquad \text{et} \qquad 50^2 + 101 = 51^2 \] sont satisfaites. Dans le troisième cas, on a $23^2 + 100 - 1$, qui n'est pas un carré. De la même manière, dans le dernier cas, $25 + 100 - 1$ n'est pas un carré. Par conséquent, la population initiale de la ville est de $49^2 = 2401$ personnes.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juin 2019, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Commentaire sur l'article

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  • Juin 2019, 2e défi

    le 21 juin 2019 à 16:48, par Niak

    En effet. Au passage, si l’on se donne une fonction $c:\mathbb{Z}\rightarrow\{-1,1\}$ et que l’on pose (à partir de deux fonctions quelconques $f^+$ et $f^-$ sur les entiers) \[f(n) = \left\lbrace\begin{array}{ll}f^+(n) & \text{si }c(n)=1\\ f^-(n) & \text{si }c(n)=-1\end{array}\right.\] alors $f(n) = \frac{1}{2}(f^+(n)+f^-(n)+c(n)(f^+(n)-f^-(n)))$.
    Pour tester la parité de $n$, on peut choisir $c(n)=(-1)^n$.
    Pour tester le signe de $n$, on peut choisir $c(n)=\frac{2n+1}{|2n+1|}$, aisément adaptable à des comparaisons plus générales en fonction de $n$.
    Cela permet de transformer de façon complètement automatique la formule par cas en formules analogues à celles que vous proposez (peut-être d’ailleurs aviez-vous procédé de façon similaire pour les construire à l’époque).

    Répondre à ce message

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