Un défi par semaine

Juin 2019, 3e défi

Le 21 juin 2019  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (2)
Lire l'article en  

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2019 est en librairie !

Semaine 25

Trouver tous les nombres entiers solutions de l’équation

\[ x^4=y^2+71. \]

Solution du 2e défi de juin :

Enoncé

La solution est colonne $45$, ligne $7$.

Observons que les nombres de la première ligne sont de la forme
$(2n+1)^2$ ou $(2n+1)^2+1$ et que $(2n+1)^2$ est dans la colonne $2n+1$. Les nombres de la première colonne sont de la forme
$(2n)^2$ ou $(2n)^2+1$ et $(2n)^2$ est dans la ligne $2n$. Le nombre $45^2=2025$ est le carré le plus petit qui soit supérieur à $2019$, et il se trouve dans la colonne $45$.

Pour connaître le numéro de la ligne dans laquelle se trouve
$2019$, remarquons que le numéro de sa colonne est impair et que la
direction des flèches est donc ascendante. Il suffit alors de calculer $2025-2019+1=7$.

Ainsi, le nombre $2019$ se trouve en colonne $45$, ligne $7$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

Partager cet article

Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juin 2019, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Commentaire sur l'article

  • Juin 2019, 3e défi

    le 21 juin à 08:05, par François

    On a (x^2 - y) (x^2 + y) = 71 qui est un nombre premier. Donc x^2 - y = 1 et x^2 + y = 7 (en supposant y >0). On en déduit que 2 y = 70 , y = 35 et x = 6.
    La solution en entiers naturels est (x,y) = (6, 35) , en nombres entiers (±6, ±35).

    Répondre à ce message
  • Juin 2019, 3e défi

    le 21 juin à 08:55, par François

    Errata lire x^2 + y = 71 et non x^2 + y = 7

    Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?