Un défi par semaine

Juin 2019, 4e défi

Le 28 juin 2019  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (4)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2019 est en librairie !

Semaine 26

Deux fourmis marchent autour d’un cercle dans la même direction, et l’une d’entre elles marche treize fois plus vite que l’autre. La fourmi la plus lente met une heure à faire un tour complet. Si les deux fourmis commencent à marcher à partir d’un même point du cercle, au bout de combien de temps vont-elles se retrouver ?

Solution du 3e défi de juin :

Enoncé

La solution est $(\pm 6, \pm 35)$

On a :
\[ \begin{array}{lll} x^4 & = & y^2+71\\ (x^2-y)(x^2+y) & = &71. \end{array} \]

Comme $71$ est un nombre premier, il y a $4$ cas possibles :

  • $x^2+y=71$ et $x^2-y=1$. Alors $x=\pm6$ et $y=35$.
  • $x^2+y=-71$ et $x^2-y=-1$. Alors $x^2=-36$ et il n’existe pas de solution.
  • $x^2+y=1$ et $x^2-y=71$. Alors $x=\pm6$ et $y=-35$.
  • $x^2+y=-1$ et $x^2-y=-71$. Alors $x^2=-36$ et il n’existe pas de solution.

Finalement, les quatre couples de solutions sont : $(6, 35)$, $(-6, 35)$, $(6, -35)$ et $(-6, -35)$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juin 2019, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Commentaire sur l'article

  • Juin 2019, 4e défi

    le 28 juin à 08:40, par Al_louarn

    Si on mesure le temps $t$ écoulé depuis le départ en heures, la fourmi rapide effectue son deuxième tour entre $t=\dfrac{1}{13}$ et $t=\dfrac{2}{13}$, alors que la formi lente ne boucle son premier tour qu’à $t=1$.
    C’est donc pendant le deuxième tour de la fourmi rapide qu’ont lieu les retrouvailles.
    Si on prend comme unité de distance le périmètre du cercle, au bout d’un temps $t$, la distance parcourue est $t$ pour la fourmi lente, et $13t$ pour la fourmi rapide.
    La distance parcourue par la fourmi rapide pendant son deuxième tour est donc $13t-1$.
    L’instant $t$ de la rencontre vérifie donc $t=13t-1$, ce qui donne $t=\dfrac{1}{12}$, soit $5$ minutes.

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    • Juin 2019, 4e défi

      le 28 juin à 11:44, par FredM

      Dans le référentiel de la fourmi lente, la fourmi rapide fait 12 tours à l’heure. Elle revient donc à son point de départ en 1/12eme d’heure, soit 5 minutes.

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  • Juin 2019, 4e défi

    le 29 juin à 09:34, par Daniate

    Plaçons nos deux fourmis sur une horloge à la graduation 0 pour les heures et 0 pour les minutes. La plus lente, sans se fatiguer, va sauter sur l’aiguille des minutes qui va à la même vitesse qu’elle. L’autre part à la poursuite de la trotteuse sans grand espoir de la rattraper, mais elle ne doit pas être très maligne de courir sous la canicule.
    Lorsque la première arrive à la graduation 1h l’autre arrive à la graduation 13h , ce qui est la même graduation mais cette graduation est 5 min pour l’aiguille des minutes.

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  • Juin 2019, 4e défi

    le 29 juin à 13:07, par bistraque

    on peut aussi refaire achille et la tortue : achille fait un tour pendant ce temps la tortue à fait 1/13 de tour. Achille fait 1/13 de tour, pendant ce temps la tortue fait 1/13² tour...
    Ils se rencontre après 1/13.(1-1/13) = 1/12 soit 5mn

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