Un défi par semaine

Juin 2020, 1er défi

El 5 junio 2020  - Escrito por  Ana Rechtman Ver los comentarios (12)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 23

Si le système possède trois solutions réelles positives, quelle est la valeur de $x+y+z$ ?
\[ \begin{array}{ccc} x&=&\sqrt{11-2yz}\\ y&=&\sqrt{12-2xz}\\ z&=&\sqrt{13-2xy}. \end{array} \]

Solution du 5e défi de mai :

Enoncé

La réponse est : $63$ tentatives.

Si la combinaison commence par $0$, alors il y a neuf combinaisons possibles: $019$, $028$, $\dots$ $091$.

Si la combinaison commence par $1$, alors il y a dix combinaisons
possibles: $109$, $118$, $\dots$$190$.

Si la combinaison commence
par $2$, alors la somme des deux autres chiffres doit valoir $8$, ce
qui donne $9$ combinaisons possibles: $208$, $217$, $226$, $235$,
$244$, $253$, $262$ $271$ et $280$.

Plus généralement, si la
combinaison commence par $k>0$, alors la somme des deux autres
chiffres doit valoir $10-k$, ce qui donne $10-k+1$ combinaisons
possibles. Par exemple, pour $k=7$, les combinaisons possibles sont
$703$, $712$, $721$, $730$.

Par conséquent, le nombre total de
tentatives est
\[9 + 10 + 9 + 8+7+6 +\cdots +3+2=9 + \frac{10 \times 11}{2} -1=63.\]

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2020 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Para citar este artículo:

Ana Rechtman — «Juin 2020, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada - JAN MARTIN WILL / SHUTTERSTOCK

Comentario sobre el artículo

  • Juin 2020, 1er défi

    le 5 de junio à 08:17, par Al_louarn

    $x^2=11-2yz$
    $y^2=12-2xz$
    $z^2=13-2xy$

    $x^2 + y^2 + z^2 + 2(yz + xz +xy) = 36$

    $(x+y+z)^2=6^2$

    $x+y+z=6$

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  • Juin 2020, 1er défi

    le 8 de junio à 08:04, par Michel Marcus

    Après on peut se poser 2 questions.
    Quelles sont les solutions x,y,z du système?
    Et si on dit que 11,12,13 s’appellent m,m+1,m+2, pour quelles valeurs de m a-t’on x+y+z entier ?

    Répondre à ce message
    • Juin 2020, 1er défi

      le 8 de junio à 13:12, par CAMI

      Les solutions x, y, z sont multiples le système restant indéterminé.
      Si on choisi un produit du couple x, y on peut calculer x , y et z.
      Par exemple soit x*y = 4, z*z = 13-2*4 = 5, z = 5^(1/2), y = (7-3*5^(1/2))/2, x = 6-y-z
      Les valeurs de m sont telles que 3*m+3 = 3*(m+1) = 3*3*n*n soit m+1 multiple de 3.
      9*((m+1)/3) = 3*3*n*n donc (m+1)/3 = n*n, ici m=11, (m+1)/3 = 4 = 2*2.

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  • Juin 2020, 1er défi

    le 9 de junio à 18:49, par CAMI

    Erreur fatale, le système est déterminé et une seule solution pour x, y, z!
    Pardonnez mon erreur!
    Mon PC peut apporter la solution si je lui donne le bon programme, calculs en court pour trouver x, y, z.

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    • Juin 2020, 1er défi

      le 10 de junio à 10:57, par François

      En reprenant le système sans les racines carrées on peut faire deux remarques :
      1°) Si $(x,y,z)$ est solution alors $(-x,-y,-z)$ l’est aussi.
      2°) $x$, $y$ et $z$ sont de même signe.
      J’ai demandé à Maple de résoudre le système et il m’a répondu mais j’ignore comment il y est parvenu ! Deux types de solutions donnant soit $x$, $y$ et $z$ positifs soit $x$, $y$ et $z$ négatifs.
      Pour les solutions positives
      Soit $\alpha$ racine de $P = 27X^4 -216X^3 +648X^2 -864X +428 = 27(X - 2)^4 -4$ ,
      alors $x = \frac {9} {4} \alpha^3 - \frac {27} {2} \alpha^2 + \frac {53} {2} \alpha -15 $ , $y = \alpha$ , $z = - \frac {9} {4} \alpha^3 + \frac {27} {2} \alpha^2 - \frac {55} {2} \alpha +21$ . On retrouve bien $x + y + z = 6$.
      Le polynôme $P$ ayant deux racines réelles $2 \pm \frac {\sqrt {2} \sqrt [4] {3}} {3}$ on obtient 2 solutions au système.
      Comment trouver $P$ ?
      Pour les solutions négatives, il suffit de remplacer $X$ en $-X$ dans $P$, les coefficients donnant $x$ en fonction de $\alpha$ deviennent tous positifs et ceux de $z$ tous négatifs.
      Mais comment trouve-t-on $P$ et ces relations avec $\alpha$ ?

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    • Juin 2020, 1er défi

      le 10 de junio à 11:27, par CAMI

      Après une nuit le résultat obtenu
      x=1.773293
      y=1.37897
      z=2.847737
      x*x+2*y*z = 10.998456
      y*y+2*x*z = 12.00302
      z*z+2*x*y = 13.000242

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      • Juin 2020, 1er défi

        le 10 de junio à 14:16, par François

        Il s’agit de la solution en prenant $\alpha = 2 - \frac {\sqrt {2} \sqrt [4] {3}} {3}$.
        Les solutions exactes sont $x = 2+\frac {\sqrt {2} \sqrt [4] {3}} {6} - \frac {\sqrt {2} \sqrt [4] {27}} {6} \approx 1.772916654$, $y = \alpha \approx 1.379596761$, $z = 2+\frac {\sqrt {2} \sqrt [4] {3}} {6} + \frac {\sqrt {2} \sqrt [4] {27}} {6} \approx 2.847486586 $.
        Autre solution en prenant $\alpha = 2 + \frac {\sqrt {2} \sqrt [4] {3}} {3}$, on a :
        $x = 2-\frac {\sqrt {2} \sqrt [4] {3}} {6} + \frac {\sqrt {2} \sqrt [4] {27}} {6} \approx 2.227083346$, $y = \alpha \approx 2.620403239$, $z = 2-\frac {\sqrt {2} \sqrt [4] {3}} {6} - \frac {\sqrt {2} \sqrt [4] {27}} {6} \approx 1.152513414 $.
        Je pense que ce sont les seules solutions positives. Géométriquement, il s’agit de l’intersection de trois quadriques (hyperboloïde à 2 nappes sauf erreur).

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      • Juin 2020, 1er défi

        le 10 de junio à 15:18, par CAMI

        Les derniers résultats du calcul de x, y, z:
        x = 1,772909
        y = 1,379594
        z=2,847497
        x*x + 2*y*z = 10,999985
        y*y + 2*x*z = 11,999986
        z*z + 2*x*y = 13,000028

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        • Juin 2020, 1er défi

          le 10 de junio à 15:46, par CAMI

          Et pour finir à la 6ème décimale:
          x=1,772915
          y=1,379596
          z=2,847489
          pour vérification:
          x*x+2*y*z=10,999997
          y*y+2*x*z=11,999999
          z*z+2*x*y=13,000006

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          • Juin 2020, 1er défi

            le 10 de junio à 17:58, par François

            Pour revenir à la généralisation $m$, $m+1$, $m+2$ au lieu de $11$, $12$, $13$, la somme $x + y + z$ est entière ssi $m = 3n^2 -1$ avec $n$ entier et alors $x + y + z = 3n$ . Dans ce cas pour avoir des solutions positives $y$ est racine du polynôme $P = 27(X-n)^4-4$ (dixit Maple mais pourquoi ?), c’est à dire $y = n \pm \frac {\sqrt {3} \sqrt [4] {3}} {3}$
            Compte tenu du fait que $y^2 + 2xz = 3n^2$ et que $x + y + z = 3n$, on obtient que $x$ et $z$ sont solutions de l’équation $2Y^2 + 2Y(y - 3n) = y^2 - 3n^2$ de discriminant $3(y-n)^2 = \frac {2\sqrt {3}} {3}$.
            De plus $2 = z^2 - x^2 + 2y(x - z) = (z - x)(z + x -2y) = 3(z - x)(n - y)$, donc $z > x \Leftrightarrow n > y$ Ceci permet de distinguer $x$ et $z$. On a donc deux solutions positives :
            $x = n + \frac {\sqrt {3} \sqrt [4] {3}} {6}(1 - \sqrt {3}) , y = n - \frac {\sqrt {3} \sqrt [4] {3}} {3}, z = n + \frac {\sqrt {3} \sqrt [4] {3}} {6}(1 + \sqrt{3})$
            $x = n - \frac {\sqrt {3} \sqrt [4] {3}} {6}(1 - \sqrt {3}) , y = n + \frac {\sqrt {3} \sqrt [4] {3}} {3}, z = n - \frac {\sqrt {3} \sqrt [4] {3}} {6}(1 + \sqrt{3})$
            Mais je ne sais toujours pas d’où sort ce polynôme $P$.

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            • Juin 2020, 1er défi

              le 10 de junio à 22:13, par François

              ça-y-est !
              En reprenant l’équation $2Y^2 + 2Y(y - 3n) = y^2 - 3n^2$ de discriminant $3(y - n)^2$ (on ne connait pas $y$ !), on obtient pour $y > n$ , $x = \frac {3n - y + \sqrt {3} (y - n)} {2}$ et $z = \frac {3n - y - \sqrt {3} (y - n)} {2}$.
              $x^2 + 2yz - 3n^2 + 1 = 0$ donne en remplaçant $x$ et $z$ par leur valeur une équation du second degré en $y$ dont la solution, compte tenu du fait que $y > n$, est $y = n + \frac { \sqrt {2} \sqrt [4] {3}} {3}$. De même pour $y < n$ on obtient $y = n - \frac { \sqrt {2} \sqrt [4] {3}} {3}$. Les deux valeurs de $y$ trouvées sont les uniques racines réelles de $P = 27(X - n)^4 - 4$.
              On ne peut que féliciter les ingénieurs de Maple qui ont créer l’algorithme permettant de trouver $P$ bien que celui-ci ne soit pas donné sous sa forme la plus simple ni d’ailleurs les expressions de $x$ et $z$ qui sont horribles car non simplifiées.
              On peut être étonné par la forme condensée de $P$ et finalement des résultats finaux.

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  • Juin 2020, 1er défi

    le 11 de junio à 09:09, par CAMI

    En effet une deuxième solution pour x, y, z
    x = 2,227082517
    y = 2,620403300
    z = 1.152514183
    Vérification:
    x*x + 2*y*z = 11,000000474
    y*y + 2*x*z = 12,000001830
    z*z + 2*x*y = 12,999997696

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