Un défi par semaine

Juin 2020, 1er défi

Le 5 juin 2020  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (12)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 23

Si le système possède trois solutions réelles positives, quelle est la valeur de $x+y+z$ ?
\[ \begin{array}{ccc} x&=&\sqrt{11-2yz}\\ y&=&\sqrt{12-2xz}\\ z&=&\sqrt{13-2xy}. \end{array} \]

Solution du 5e défi de mai :

Enoncé

La réponse est : $63$ tentatives.

Si la combinaison commence par $0$, alors il y a neuf combinaisons possibles : $019$, $028$, $\dots$ $091$.

Si la combinaison commence par $1$, alors il y a dix combinaisons
possibles : $109$, $118$, $\dots$$190$.

Si la combinaison commence
par $2$, alors la somme des deux autres chiffres doit valoir $8$, ce
qui donne $9$ combinaisons possibles : $208$, $217$, $226$, $235$,
$244$, $253$, $262$ $271$ et $280$.

Plus généralement, si la
combinaison commence par $k>0$, alors la somme des deux autres
chiffres doit valoir $10-k$, ce qui donne $10-k+1$ combinaisons
possibles. Par exemple, pour $k=7$, les combinaisons possibles sont
$703$, $712$, $721$, $730$.

Par conséquent, le nombre total de
tentatives est
\[9 + 10 + 9 + 8+7+6 +\cdots +3+2=9 + \frac{10 \times 11}{2} -1=63.\]

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2020 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juin 2020, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Crédits image :

Image à la une - JAN MARTIN WILL / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

  • Juin 2020, 1er défi

    le 5 juin à 08:17, par Al_louarn

    $x^2=11-2yz$
    $y^2=12-2xz$
    $z^2=13-2xy$

    $x^2 + y^2 + z^2 + 2(yz + xz +xy) = 36$

    $(x+y+z)^2=6^2$

    $x+y+z=6$

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  • Juin 2020, 1er défi

    le 8 juin à 08:04, par Michel Marcus

    Après on peut se poser 2 questions.
    Quelles sont les solutions x,y,z du système ?
    Et si on dit que 11,12,13 s’appellent m,m+1,m+2, pour quelles valeurs de m a-t’on x+y+z entier ?

    Répondre à ce message
    • Juin 2020, 1er défi

      le 8 juin à 13:12, par CAMI

      Les solutions x, y, z sont multiples le système restant indéterminé.
      Si on choisi un produit du couple x, y on peut calculer x , y et z.
      Par exemple soit x*y = 4, z*z = 13-2*4 = 5, z = 5^(1/2), y = (7-3*5^(1/2))/2, x = 6-y-z
      Les valeurs de m sont telles que 3*m+3 = 3*(m+1) = 3*3*n*n soit m+1 multiple de 3.
      9*((m+1)/3) = 3*3*n*n donc (m+1)/3 = n*n, ici m=11, (m+1)/3 = 4 = 2*2.

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  • Juin 2020, 1er défi

    le 9 juin à 18:49, par CAMI

    Erreur fatale, le système est déterminé et une seule solution pour x, y, z !
    Pardonnez mon erreur !
    Mon PC peut apporter la solution si je lui donne le bon programme, calculs en court pour trouver x, y, z.

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    • Juin 2020, 1er défi

      le 10 juin à 10:57, par François

      En reprenant le système sans les racines carrées on peut faire deux remarques :
      1°) Si $(x,y,z)$ est solution alors $(-x,-y,-z)$ l’est aussi.
      2°) $x$, $y$ et $z$ sont de même signe.
      J’ai demandé à Maple de résoudre le système et il m’a répondu mais j’ignore comment il y est parvenu ! Deux types de solutions donnant soit $x$, $y$ et $z$ positifs soit $x$, $y$ et $z$ négatifs.
      Pour les solutions positives
      Soit $\alpha$ racine de $P = 27X^4 -216X^3 +648X^2 -864X +428 = 27(X - 2)^4 -4$ ,
      alors $x = \frac {9} {4} \alpha^3 - \frac {27} {2} \alpha^2 + \frac {53} {2} \alpha -15 $ , $y = \alpha$ , $z = - \frac {9} {4} \alpha^3 + \frac {27} {2} \alpha^2 - \frac {55} {2} \alpha +21$ . On retrouve bien $x + y + z = 6$.
      Le polynôme $P$ ayant deux racines réelles $2 \pm \frac {\sqrt {2} \sqrt [4] {3}} {3}$ on obtient 2 solutions au système.
      Comment trouver $P$ ?
      Pour les solutions négatives, il suffit de remplacer $X$ en $-X$ dans $P$, les coefficients donnant $x$ en fonction de $\alpha$ deviennent tous positifs et ceux de $z$ tous négatifs.
      Mais comment trouve-t-on $P$ et ces relations avec $\alpha$ ?

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    • Juin 2020, 1er défi

      le 10 juin à 11:27, par CAMI

      Après une nuit le résultat obtenu
      x=1.773293
      y=1.37897
      z=2.847737
      x*x+2*y*z = 10.998456
      y*y+2*x*z = 12.00302
      z*z+2*x*y = 13.000242

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      • Juin 2020, 1er défi

        le 10 juin à 14:16, par François

        Il s’agit de la solution en prenant $\alpha = 2 - \frac {\sqrt {2} \sqrt [4] {3}} {3}$.
        Les solutions exactes sont $x = 2+\frac {\sqrt {2} \sqrt [4] {3}} {6} - \frac {\sqrt {2} \sqrt [4] {27}} {6} \approx 1.772916654$, $y = \alpha \approx 1.379596761$, $z = 2+\frac {\sqrt {2} \sqrt [4] {3}} {6} + \frac {\sqrt {2} \sqrt [4] {27}} {6} \approx 2.847486586 $.
        Autre solution en prenant $\alpha = 2 + \frac {\sqrt {2} \sqrt [4] {3}} {3}$, on a :
        $x = 2-\frac {\sqrt {2} \sqrt [4] {3}} {6} + \frac {\sqrt {2} \sqrt [4] {27}} {6} \approx 2.227083346$, $y = \alpha \approx 2.620403239$, $z = 2-\frac {\sqrt {2} \sqrt [4] {3}} {6} - \frac {\sqrt {2} \sqrt [4] {27}} {6} \approx 1.152513414 $.
        Je pense que ce sont les seules solutions positives. Géométriquement, il s’agit de l’intersection de trois quadriques (hyperboloïde à 2 nappes sauf erreur).

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      • Juin 2020, 1er défi

        le 10 juin à 15:18, par CAMI

        Les derniers résultats du calcul de x, y, z :
        x = 1,772909
        y = 1,379594
        z=2,847497
        x*x + 2*y*z = 10,999985
        y*y + 2*x*z = 11,999986
        z*z + 2*x*y = 13,000028

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        • Juin 2020, 1er défi

          le 10 juin à 15:46, par CAMI

          Et pour finir à la 6ème décimale :
          x=1,772915
          y=1,379596
          z=2,847489
          pour vérification :
          x*x+2*y*z=10,999997
          y*y+2*x*z=11,999999
          z*z+2*x*y=13,000006

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          • Juin 2020, 1er défi

            le 10 juin à 17:58, par François

            Pour revenir à la généralisation $m$, $m+1$, $m+2$ au lieu de $11$, $12$, $13$, la somme $x + y + z$ est entière ssi $m = 3n^2 -1$ avec $n$ entier et alors $x + y + z = 3n$ . Dans ce cas pour avoir des solutions positives $y$ est racine du polynôme $P = 27(X-n)^4-4$ (dixit Maple mais pourquoi ?), c’est à dire $y = n \pm \frac {\sqrt {3} \sqrt [4] {3}} {3}$
            Compte tenu du fait que $y^2 + 2xz = 3n^2$ et que $x + y + z = 3n$, on obtient que $x$ et $z$ sont solutions de l’équation $2Y^2 + 2Y(y - 3n) = y^2 - 3n^2$ de discriminant $3(y-n)^2 = \frac {2\sqrt {3}} {3}$.
            De plus $2 = z^2 - x^2 + 2y(x - z) = (z - x)(z + x -2y) = 3(z - x)(n - y)$, donc $z > x \Leftrightarrow n > y$ Ceci permet de distinguer $x$ et $z$. On a donc deux solutions positives :
            $x = n + \frac {\sqrt {3} \sqrt [4] {3}} {6}(1 - \sqrt {3}) , y = n - \frac {\sqrt {3} \sqrt [4] {3}} {3}, z = n + \frac {\sqrt {3} \sqrt [4] {3}} {6}(1 + \sqrt{3})$
            $x = n - \frac {\sqrt {3} \sqrt [4] {3}} {6}(1 - \sqrt {3}) , y = n + \frac {\sqrt {3} \sqrt [4] {3}} {3}, z = n - \frac {\sqrt {3} \sqrt [4] {3}} {6}(1 + \sqrt{3})$
            Mais je ne sais toujours pas d’où sort ce polynôme $P$.

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            • Juin 2020, 1er défi

              le 10 juin à 22:13, par François

              ça-y-est !
              En reprenant l’équation $2Y^2 + 2Y(y - 3n) = y^2 - 3n^2$ de discriminant $3(y - n)^2$ (on ne connait pas $y$ !), on obtient pour $y > n$ , $x = \frac {3n - y + \sqrt {3} (y - n)} {2}$ et $z = \frac {3n - y - \sqrt {3} (y - n)} {2}$.
              $x^2 + 2yz - 3n^2 + 1 = 0$ donne en remplaçant $x$ et $z$ par leur valeur une équation du second degré en $y$ dont la solution, compte tenu du fait que $y > n$, est $y = n + \frac { \sqrt {2} \sqrt [4] {3}} {3}$. De même pour $y < n$ on obtient $y = n - \frac { \sqrt {2} \sqrt [4] {3}} {3}$. Les deux valeurs de $y$ trouvées sont les uniques racines réelles de $P = 27(X - n)^4 - 4$.
              On ne peut que féliciter les ingénieurs de Maple qui ont créer l’algorithme permettant de trouver $P$ bien que celui-ci ne soit pas donné sous sa forme la plus simple ni d’ailleurs les expressions de $x$ et $z$ qui sont horribles car non simplifiées.
              On peut être étonné par la forme condensée de $P$ et finalement des résultats finaux.

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  • Juin 2020, 1er défi

    le 11 juin à 09:09, par CAMI

    En effet une deuxième solution pour x, y, z
    x = 2,227082517
    y = 2,620403300
    z = 1.152514183
    Vérification :
    x*x + 2*y*z = 11,000000474
    y*y + 2*x*z = 12,000001830
    z*z + 2*x*y = 12,999997696

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