Un défi par semaine

Juin 2020, 1er défi

Le 5 juin 2020  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (12)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 23

Si le système possède trois solutions réelles positives, quelle est la valeur de $x+y+z$ ?
\[ \begin{array}{ccc} x&=&\sqrt{11-2yz}\\ y&=&\sqrt{12-2xz}\\ z&=&\sqrt{13-2xy}. \end{array} \]

Solution du 5e défi de mai :

Enoncé

La réponse est : $63$ tentatives.

Si la combinaison commence par $0$, alors il y a neuf combinaisons possibles : $019$, $028$, $\dots$ $091$.

Si la combinaison commence par $1$, alors il y a dix combinaisons
possibles : $109$, $118$, $\dots$$190$.

Si la combinaison commence
par $2$, alors la somme des deux autres chiffres doit valoir $8$, ce
qui donne $9$ combinaisons possibles : $208$, $217$, $226$, $235$,
$244$, $253$, $262$ $271$ et $280$.

Plus généralement, si la
combinaison commence par $k>0$, alors la somme des deux autres
chiffres doit valoir $10-k$, ce qui donne $10-k+1$ combinaisons
possibles. Par exemple, pour $k=7$, les combinaisons possibles sont
$703$, $712$, $721$, $730$.

Par conséquent, le nombre total de
tentatives est
\[9 + 10 + 9 + 8+7+6 +\cdots +3+2=9 + \frac{10 \times 11}{2} -1=63.\]

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2020 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juin 2020, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Crédits image :

Image à la une - JAN MARTIN WILL / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

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  • Juin 2020, 1er défi

    le 5 juin à 08:17, par Al_louarn

    $x^2=11-2yz$
    $y^2=12-2xz$
    $z^2=13-2xy$

    $x^2 + y^2 + z^2 + 2(yz + xz +xy) = 36$

    $(x+y+z)^2=6^2$

    $x+y+z=6$

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