Un défi par semaine

Juin 2020, 2e défi

Le 12 juin 2020  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (10)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 24 Combien d’entiers naturels $n$ vérifient que $n-52$ et $n+52$ sont des nombres entiers au carré ?

Solution du 1er défi de juin :

Enoncé

La réponse est $x+y+z=6$.

En élevant au carré les différentes équations, on obtient
$x^2=11-2yz$, $y^2=12-2xz$ et $z^2=13-2xy$, et donc
\[ x^2+2yz=11, \quad y^2+2xz=12\quad\text{et}\quad z^2+2xy=13. \]
De plus, en développant l’expression $(x+y+z)^2$, on obtient
\[ \begin{eqnarray*} (x+y+z)^2 & = & x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz\\ & = & (x^2+2yz)+(y^2+2xz)+(z^2+2xy)\\ & = & 11+12+13=36, \end{eqnarray*} \]
et $x+y+z$, qui est positif, a pour valeur $6$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2020 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juin 2020, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Crédits image :

Image à la une - JAN MARTIN WILL / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

  • Juin 2020, 2e défi

    le 12 juin à 09:10, par François

    On écrit $n - 52 = p^2$ et $n+ 52 = q^2$ avec $q > p$
    La différence donne $q^2 - p^2 = (q - p)(q + p) = 104 = 13*2^3$
    Ce qui donne comme possibilité pour le couple $(q + p, q - p)$ $(13,8)$, $(13*2,4)$, $(13*4,2)$ et $(13*8,1)$.
    On résout et on ne garde que les solutions entières ; soit $(p,q) = (11,15)$ et $n = 173$ ainsi que $(p,q) = (25,27)$ et $n = 677$.
    Il n’y a que deux entiers vérifiant les relations demandées $173$ et $677$.

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  • Juin 2020, 2e défi

    le 12 juin à 09:44, par CAMI

    n-52 = x*x
    n+52 = y*y
    donc y*y-x*x = 104, soit (y - x)*(y + x) = 104
    deux couples y, x possibles (15-11)*(15+11)=4*26=104 et (27-25)*(27+25)=2*52=104
    donc deux solutions n=52+11*11=173 et n=52+25*25=677

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  • Juin 2020, 2e défi

    le 12 juin à 12:08, par ROUX

    (n-52)=X^2 et (n+52)=Y^2.
    Y^2-X^2=104 ou (Y-X)*(Y+X)=104.
    Y=X+Z donc Z*(2X+Z)=104.
    104=13*2*2*2.
    Nous allons tester des valeurs de Z.
    Z est toujours plus petit que 2X+Z donc nous ne pourrons tester que Z=2, Z=4, Z=8.
    Si Z=2 alors (2X+Z)=52 ou 2X=50 ou X=25. Alors n=25^2+52=677.
    Si Z=4 alors (2X+Z)=26 ou 2X=22 ou X=11. Alors n=11^2+52=173.
    Si Z=8 alors (2X+Z)=13 ce qui n’est pas possible car 13 est impair, 2X est pair donc Z devrait être impair or Z est pair.
    La réponse à la question est 2.
    Pouvait-on le prouver sans calculer les différentes valeurs de n ?

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  • Juin 2020, 2e défi

    le 12 juin à 12:48, par François

    On peut généraliser. Soit $m$ un entier, quel est le nombre $N$ d’entiers $n$ tels que $n - m$ et $n + m$ soient des carrés ?
    On écrit $n - m = p^2$, $n + m = q^2$ donc $2m = (q + p)(q - p)$. Soit $r$ et $s$ tels que $2m = rs$ avec $r \ge s$ , en prenant $q + p = r$ et $q - p = s$, pour avoir $p$, $q$ et $m$ entiers il est nécessaire que $r$, $s$ ainsi que $m$ soient pairs..
    On pose alors $m = 2m'$, $r = 2r'$ et $s = 2s'$ avec $r' \ge s'$. Le nombre cherché $N$ est alors le cardinal de $\{ (r',s')$ tels que $r' \ge s'$ et $ r's' = m' \} $. Soit d le nombre de diviseurs de $\frac {m} {2}$, sa parité dépend du fait que $\frac {m} {2}$ soit un carré. Donc en résumé :
    si $m$ est impair $N = 0$
    si $\frac {m} {2}$ n’est pas un carré $N = \frac {d} {2}$
    si $\frac {m} {2}$ est un carré $N = E(d) + 1$ où $E$ est la partie entière. Dans ce cas on peut avoir $r' = s'$ et $n = m$ est solution.
    par exemple pour $m = 52$, les diviseurs de $26$ sont $\{ 26, 13, 2 ,1\}$ donc $N = 2$.

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    • Juin 2020, 2e défi

      le 12 juin à 14:06, par François

      oups petite erreur : si $\frac {m} {2}$ est un carré $N=E(\frac {d} {2})+1$

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      • Juin 2020, 2e défi

        le 12 juin à 17:43, par Lina

        Il me semble qu’il suffit de trouver m sous forme m = (2p+1)x2^N pour connaître N

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        • Juin 2020, 2e défi

          le 12 juin à 18:12, par François

          J’aimerais voir votre preuve.
          Pour $m = 200 = 25*2^3$ , j’obtiens 5 valeurs de $n$ : $\{10001, 2504, 641, 425, 200 \}$.

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          • Juin 2020, 2e défi

            le 13 juin à 08:52, par Lina

            Je serais bien en peine d’apporter une preuve puisque mon assertion est fausse ou plutôt n’est valable que si 2p+1 est un nombre premier. Sinon, il faudra multiplier par le nombre de décompositions en 2 facteurs de 2p+1 c’est à dire ajouter 1 a chaque exposant dans la décomposition en facteurs premiers de 2p+1, en faire le produit, ajouter 1 si ce produit est impair, puis diviser par 2 Toutes mes excuses.

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            • Juin 2020, 2e défi

              le 13 juin à 10:14, par François

              Soit $d(n)$ la fonction arithmétique donnant le nombre de diviseur de $n$, cette fonction est multiplicative c’est à dire que $d(1) = 1$ et $d(pq) = d(p)d(q)$ si $p$ et $q$ sont premiers entre eux. De plus si $p$ est un nombre premier, $d(p^{\alpha}) = \alpha + 1$.
              Dans notre cas si la décomposition de $m$ en facteurs premiers est $m = 2^{\alpha}p_1^{\alpha_1}\cdots p_k^{\alpha_k}$, $d \left( \frac {m} {2} \right) = \alpha (\alpha_1 + 1) \cdots (\alpha_k +1)$ et $N = \left\lceil \frac {1} {2} d(\frac {m} {2} ) \right\rceil$ suivant la notation anglo-saxonne.
              Si $m = (2p + 1)2^M$, avec $2p+1$ premier, $d( \frac {m} {2} ) = 2M$ et $N = M$.

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    • Juin 2020, 2e défi

      le 12 juin à 15:35, par ROUX

      Merci beaucoup !!!

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