Juin 2020, 3e défi

Le 19 juin 2020 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (3)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 25 Considérons une planche de bois délimitée par deux cercles concentriques de rayons $1$ cm et $6$ cm. Quelle est la longueur maximale d’un segment de droite dessiné sur cet anneau de bois ?

Solution du 2e défi de juin :

Enoncé

La réponse est : deux entiers.

Soient deux entiers $m$ et $k$ tels que $n-52=m^2$ et
$n+52=k^2$. On a alors $m^2+52=k^2-52$, ce qui entraîne que
\[k^2-m^2=(k-m)(k+m)=104=2^3\times 13.\]
Les nombres $k-m$ et $k+m$ sont donc deux diviseurs de $104$ vérifiant $k-m\le k+m$.
Les couples $(k-m,k+m)$ sont donc à choisir dans l’ensemble :
$(8,13)$, $(4,26)$, $(2,52)$, $(1,104)$.
Cependant, $104$ étant un nombre pair, un des deux entiers $k-m$ ou $k+m$
doit être pair. De plus, $k+m=(k-m)+2m$ donc finalement, ces deux nombres doivent être pairs. Le couple $(k-m,k+m)$ ne peut qu’être $(4,26)$ ou $(2,52)$.
étudions le premier cas :
\[ \begin{eqnarray*} (k+m)+(k-m)&=&26+4\\ 2k&=&30\\ k&=&15, \end{eqnarray*} \]
et $m=k-4=11$. Dans ce cas $n=11^2+52 = 173.$ De manière analogue, on trouve pour le second cas, $k=\frac{52+2}{2}=27$ et $m=25$, ce qui donne $n=25^2+52=677$. Il n’existe alors que deux entiers naturels satisfaisant la condition : $173$ et $677$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2020 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

Commentaire sur l'article

Juin 2020, 3e défi

le 19 juin 2020 à 10:59, par FDesnoyer

Bonjour,
je prends le risque de répondre en premier !

Le segment en question ne peut qu’être tangent au cercle intérieur. On trace une figure rapide, on a O le centre commun, A le point de tangence, B et C les extémités du segment.

AC=AB=$\sqrt{35}$ donc la longueur maximale est $2\sqrt{35}$

Amicalement,

F.D.
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Juin 2020, 3e défi

le 19 juin 2020 à 12:52, par Niak

Idem, avec la figure :

Le segment rouge mesure $2\sqrt{6^2-1^2}=2\sqrt{35}$.
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Juin 2020, 3e défi

le 19 juin 2020 à 12:56, par Niak

Pfff, la figure, non cassée par le site cette fois, on l’espère :

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Ana Rechtman

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Juin 2020, 3e défi

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