Un défi par semaine

Juin 2020, 4e défi

Le 26 juin 2020  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (7)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 26 Didier possède trois dés. Les faces du premier dé sont numérotées $1$, $1$, $2$, $2$, $3$, $3$, celles du deuxième $2$, $2$, $4$, $4$, $6$, $6$ et celles du troisième $1$, $1$, $3$, $3$, $5$, $5$. Didier lance les trois dés et somme les trois chiffres obtenus. Quelle est la probabilité que la somme soit un nombre pair ?

Solution du 3e défi de juin :

Enoncé

La réponse est : $2\sqrt{35}$ cm.

Puisque le segment de droite doit rester dans l’anneau formé par les deux cercles concentriques, la longueur recherchée est celle d’un segment tangent au petit cercle et d’extrémités deux points du grand cercle. On a ainsi à calculer la longueur du segment $[AB]$ de la figure suivante.

PNG - 24.6 ko

Le point $O$ étant le centre des deux cercles et le point $C$ étant le
point d’intersection entre la tangente $[AB]$ et le petit cercle. On a
donc $(OC)\bot(AB)$. Le théorème de Pythagore utilisé dans le triangle rectangle $OCA$ donne $AC^2=OA^2-OC^2$ et $AC=\sqrt{6^2-1^2}=\sqrt{35}$ cm. De même $CB=\sqrt{35}$ cm.

Donc $AB=AC+CB=2AC=2\sqrt{35}$ cm.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2020 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juin 2020, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Crédits image :

Image à la une - JAN MARTIN WILL / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

  • Juin 2020, 4e défi

    le 26 juin à 08:10, par FDesnoyer

    Mince alors 2 défis en 2 semaines que je sais faire... Que se passe-t-il ? :-D (je ne mets pas la réponse pour ne pas être le seul à m’amuser)

    Merci
    F.D.

    Répondre à ce message
    • Juin 2020, 4e défi

      le 26 juin à 10:53, par Niak

      Au pire, il est toujours possible de masquer sa solution dans un bloc dépliant.

      Réponse

      Les deuxième et troisième dés produisent toujours des nombres pair et impair respectivement. La parité de la somme ne dépend que du premier dé, lequel produit un nombre impair avec probabilité $p=\frac{2}{3}$.

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    • Juin 2020, 4e défi

      le 26 juin à 15:53, par Cyrille

      j’allais faire le même commentaire. La semaine dernière j’étais persuadé qu’il devait y avoir un truc que je ne voyais pas (comme souvent) mais non c’était bien la réponse simple. Ici, pareil...

      Répondre à ce message
  • Juin 2020, 4e défi

    le 26 juin à 11:59, par Mihaela J

    $2/3$. Car $1/3$ pour l’événement contraire qui se produit uniquement si la face avec un 2 du dé numéro 1 apparaît.

    Répondre à ce message
  • Juin 2020, 4e défi

    le 26 juin à 15:26, par drai.david

    Petit programme naïf en Python qui dénombre tous les lancers favorables puis divise le résultat par $6^3$.
    C’est totalement débile mais c’est la traduction algorithmique littérale de l’énoncé...

    sum((a+b+c)%2==0 for a in (1,1,2,2,3,3) for b in (2,2,4,4,6,6) for c in (1,1,3,3,5,5))/(6**3)

    Il renvoie 0.6666666666666666.

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  • Juin 2020, 4e défi

    le 28 juin à 18:48, par ROUX

    Dé1

    p1(pair)=1/3

    Dé2

    p2(pair)=1

    Dé3

    p3(pair)=0


    pair=impair+pair+impair

    Solution

    p(pair)=(1-p1(pair))*(p2(pair))*(1-p3(pair))=2/3*1*1=2/3

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  • Juin 2020, 4e défi

    le 29 juin à 16:43, par euclimede

    Bonjour,

    Le problème peut être simplifié en remarquant que sur chaque dé, les chiffres sont toujours écrits en double, donc c’est comme si on avait trois « dés » à 3 faces chacun, le premier portant les chiffres 1,2 et 3, le 2ème les chiffres 2,4 et 6 et le 3ème les chiffres 1,3 et 5. Cela ne sert absolument à rien pour la résolution du problème, mais ça facilite la solution débile qui consiste à énumérer tous les cas possibles et à compter brutalement le nombre de solutions qui conviennent...

    Cordialement

    Répondre à ce message

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