Juin 2022, 1er défi

Le 3 juin 2022 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (2)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2022 est en vente ! Il s’intitule : « Les maths, une aventure humaine ».

Toute une année pour partir à la découverte  de femmes et d’hommes qui, à  travers leur travail, leurs échanges, leur  génie  mais aussi leurs contradictions, ont  construit les mathématiques.

Semaine 22

Soient $x$ et $y$ tels que

$x\neq \pm1$, $y\neq \pm1$ et

$\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1} =1$. Quelle est la valeur de :
\[ \frac{1}{x-1}+\frac{1}{y-1}\,\mbox{?} \]

Solution du 4e défi de mai 2022 :

Enoncé

Réponse : $9$ entiers.

On a $(x+20)(x+5)=x^2 + 25x+100$. Comme $x$ divise $x^2 + 25x$, on en déduit que $x$ divise $(x+20)(x+5)$ si et seulement si $x$ divise $100$.

Or, $100 = 2^2 \times 5^2$ possède exactement neuf diviseurs, tous compris entre $1$ et $100$.

Ainsi, il y a neuf tels entiers, à savoir les diviseurs de $100$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2022 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich.

Commentaire sur l'article

Juin 2022, 1er défi

le 3 juin 2022 à 10:16, par Kamakor

Si $x=0$ alors on aurait $\dfrac{1}{y+1}=0$ c’est impossible donc $x \neq 0$
On exprime $y$ en fonction de $x$ :
$\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}=1$
$\dfrac{1}{y+1}=1-\dfrac{1}{x+1}$
$\dfrac{1}{y+1}=\dfrac{x+1}{x+1}-\dfrac{1}{x+1}$
$\dfrac{1}{y+1}=\dfrac{x}{x+1}$
$y+1=\dfrac{x+1}{x}$ car $x \neq 0$
$y+1=1+\dfrac{1}{x}$
$y=\dfrac{1}{x}$

On a alors : $\dfrac{1}{y-1}=\dfrac{1}{\frac{1}{x}-1}=\dfrac{1}{\frac{1-x}{x}}=\dfrac{x}{1-x}=-\dfrac{x}{x-1}$
d’où $\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{y-1}=\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{x}{x-1}=\dfrac{1-x}{x-1}=-1$
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Juin 2022, 1er défi

le 3 juin 2022 à 12:43, par François

$\displaystyle \frac {1} {x+1} + \frac {1} {y+1} = 1$ équivaut à $xy=1$ donc $\displaystyle \frac {1} {x-1} + \frac {1} {y-1} = \frac {(x+y)-2} {xy-(x+y)+1} =-1$.
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