Un défi par semaine

Juin, 2ème défi

Le 13 juin 2014  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (5)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2014 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 24 :

La valeur absolue du nombre $x$ se note $|x|$. Par exemple, $|5|=|-5|=5$.
Combien de nombres réels $x$ satisfont l’équation

$|||||x-1|-2|-3|-4|-5|=0$ ?

Solution du 1er défi de Juin

Enoncé

La réponse est oui.

Commençons par un damier de $2\times 2$. Une manière de le construire est

Maintenant nous allons construire un damier de $4\times 4$. Pour ce faire, nous utiliserons le damier de $2\times 2$. Pour que les sommes obtenues continuent à être distinctes, rajoutons des $1$ et des $-1$ de la façon suivante

Pour compléter le damier, il suffit d’inclure le damier de $2\times 2$ que nous avons construit, mais en l’inversant

Observons que nous pouvons construire un damier de $(2k+2)\times (2k+2)$ à partir d’un damier de $2k \times 2k$. Dans le damier de $2k \times 2k$ les sommes seront égales à $-(2k-1)$, $-(2k-2)$,$\dots$, $-(2k-(2k-1))$, $0$, $\ldots, 2k$. Donc, pour construire un damier de $(2k+2)\times (2k+2)$ on place un damier de $2k \times 2k$ dans la partie supérieure gauche, ensuite on dispose les nombres $1$ dans les $2k$ premières cases de la $(2k+1)$-ième ligne et dans les $2k$ premières cases de la $(2k+1)$-ième colonne et les nombres $-1$ dans les $2k$ premières cases de la $(2k+2)$-ième ligne et dans les $2k$ premières cases de la $(2k+2)$-ième colonne. Finalement, on place le damier de $2\times 2$ qu’on a construit au début, mais avec les lignes inversées.

On voit que les sommes des nombres des $(2k+2)$ colonnes et des $(2k+2)$ lignes du damier de $(2k+2)\times (2k+2)$ vont de $-(2k+1)$ à $(2k+2)$. De cette manière on a tous les nombres de $-(2k+1)$ à $2k+2$. Ainsi, il est possible de construire un damier de $2n\times 2n$ pour tout entier positif $n$. En particulier, il est possible de construire un damier de $1000\times 1000$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2014 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Étienne Ghys - Illustrations : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juin, 2ème défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Image à la une - Un nœud et sa surface de Seifert, par Jos Leys

Commentaire sur l'article

  • Juin, 2ème défi

    le 13 juin 2014 à 13:57, par Pierre Renfer

    Pour éviter d’étudier les différents cas, on peut remarquer que la fonction f est affine par morceaux, continue, avec les parties affines du type ax+b, où b est entier et où a est égal à 1 ou -1.

    On remarque d’autre part que le graphe de f est symétrique par rapport à la verticale d’abscisse 1 et que sur le dernier intervalle des nombres supérieurs ou égaux à 15, f(x)=x-15.

    Comme les changements d’intervalles ont lieu pour des abscisses entières, il ne reste plus qu’à regarder les images des entiers compris entre 1 et 15.

    f(1)=2, f(2)=3, f(3)=4 , f(4)=3, f(5)=2, f(6)=1, f(7)=2,
    f(8)=3, f(9)=4, f(10)=5, f(11)=4, f(12)=3, f(13)=2, f(14)=1,
    f(15)=0

    On conclut que les seuls zéros de f sont 15 et -13.

    Répondre à ce message
  • Juin, 2ème défi

    le 14 juin 2014 à 09:36, par Daniate

    J’apprécie la virtuosité de la méthode, au moins dans la première partie, j’ai plus de doute sur le remplacement d’une étude cas par cas par un calcul pas à pas. D’autant plus que la multiplicité des cas disparaît rapidement.

    On rencontre la règle suivante : si c>b>0 et si ||a|-b|=c alors |a|=b+c ( l’alternative -c conduit à une valeur négative pour |a|).

    On obtient successivement au second membre 0,5,9,12,14. On a alors |x-1|=14 avec soit x-1=14 soit x-1=-14

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  • Juin, 2ème défi

    le 17 juin 2014 à 11:01, par projetmbc

    Bonjour ?

    Existe-t-il une page réunissant tous les défis posés ? En tant que profs du Lycée, il y a pas mal de choses intéressantes que j’aimerais proposer en « défi » à mes élèves.

    Répondre à ce message

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