Un desafío por semana

Julio 2014, segundo desafío

Le 11 juillet 2014  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 10 juillet 2014
Article original : Juillet 2014, 2ème défi Voir les commentaires
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2014. Su solución aparecerá cuando se publique el siguiente desafío.

Semana 28 :

En un paralelógramo se marca los puntos medios de los lados y el centro del paralelógramo. Se considera después todos los triángulos cuyos vértices se encuentran entre los puntos marcados anteriormente. En cada triángulo se marca ahora los puntos medios de los lados y los puntos medios de las medianas. ¿Cuántos puntos marcados habrá en total ?

Solución del primer desafío de julio

Enunciado

La respuesta es $12$ .

Llamemos $ x $ la suma de las cifras que están en las posiciones impares del número con cinco cifras, e $ y $ la suma de las cifras en las posiciones pares. Observemos que para que el número sea divisible por $ 11$, el valor de $ x-y $ debe ser igual a $ -11$, $ 0 $ u $ 11$, pero como $ x+y=1+2+4+7+9=23$, se obtiene que $ x-y=-11$ o $ x-y=11$.

Si $ x-y= -11 $ se tiene que $ (x-y)-(x+y)=-2y=-34 $, por lo que $ y=17 $. Como $ y $ es la suma de dos de las cifras en posiciones pares, $ y\leq 9+7=16$. Por lo tanto, no es posible tener $ x-y=-11 $ .

Si $ x-y=11 $ se tiene que $ (x-y)+(x+y)=2x=34$, de donde $ x=17$. Por lo tanto, los tres números en las posiciones impares son $ 1$, $ 7$ y $ 9$, en un orden cualquiera, y en las posiciones pares se encuentran el $ 2$ y el $ 4$. Hay seis posibilidades para colocar $1, 7, 9 $, y dos para $2,4$. Hay por lo tanto $ 6 \times 2=12 $ múltiplos de $ 11 $ formados con esas cifras.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2014 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos : Étienne Ghys - Ilustraciones : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

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Pour citer cet article :

— «Julio 2014, segundo desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Image à la une - ’’Proyección estereográfica’’, por Jos Leys.

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