Un desafío por semana

Julio 2015, cuarto desafío

Le 24 juillet 2015  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 24 juillet 2015
Article original : Juillet 2015, 4e défi Voir les commentaires
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2015 cada viernes, y su solución a la semana siguiente.

Semana 30 :

Completar esta tabla con los números enteros del $1$ al $9$, de manera que los promedios de los números de cada fila y cada columna sean los mismos.

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Solución del tercer desafío de julio :

Enunciado

La respuesta es $6$ números.

Notemos que el número buscado tiene la forma $\overline{abc}$, siendo $a$, $b$ y $c$ los dígitos de este. Este número es divisible por $45$ y, por lo tanto, divisible por $5$ y $9$, por lo que el dígito $c$ es $0$ o $5$.

Si $c=0$ entonces $c$ es el menor dígito. Para que los dígitos formen una progresión aritmética los otros dígitos tiene que tener la forma $r$ y $2r$ sin importar el orden ($r$ siendo un número entero). Como el número debe ser un múltiplo de $9$, entonces $r+2r=3r$ debe ser un múltiplo de $9$ y, por lo tanto, $r$ un múltiplo de $3$. Sin embargo, como $2r\leq 9$, el único valor que este podría tomar es $r=3$. Los números posibles son entonces : $360$ y $630$.

Si $c=5$ entonces hay dos posibilidades para los otros dos dígitos : una de la forma $5+r$ y $5+2r$, con $r$ un entero positivo o negativo, y la otra de la forma $5-r$ y $5+r$ con $r$ un entero estrictamente positivo.

En la primera posibilidad, se tiene que cumplir que $5+5+r+5+2r=15+3r$ sea un múltiplo de $9$ y $0<5+2r\leq 9$, de donde $r=-2$ o $r=1$. En este caso, los números buscados son $135$, $315$, $675$ y $765$.

En la segunda posibilidad, se tiene que $5+(5-r)+(5+r)=15$, lo que no es divisible por $9$, por lo que no hay números que satisfagan este caso.

Existen entonces $6$ números : $360$, $630$, $135$, $315$, $675$ y $765$.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2015 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Article original édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

— «Julio 2015, cuarto desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - Ievgen Sosnytskyi / SHUTTERSTOCK

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