Un desafío por semana

Julio 2015, primer desafío

Le 3 juillet 2015  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 3 juillet 2015
Article original : Juillet 2015, 1er défi Voir les commentaires
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2015 cada viernes, y su solución a la semana siguiente.

Semana 27 :

En un triángulo isósceles $ABC$, los lados $AB$ y $AC$ son iguales. Un punto $D$ que pertenece al lado $AC$ está ubicado de manera que los triángulos $ABD$ y $DBC$ también sean isósceles. Si $BD=BC$, determinar la medida del ángulo $\widehat{BCA}.$

Solución del cuarto desafío de junio :

Enunciado

La respuesta es $100$.

Notemos que $p$ es igual a $3$ o es de la forma $3k+1$ o $3k+2$, con $k$ entero y $k\geq 1$. Si $p=3$, entonces $p+6=3+6=9$ el cual no es primo. Si $p=3k+2$, entonces

$p+10=3k+2+10=3k+12=3(k+4)$

no es primo ya que es múltiplo de 3. Solo nos queda la forma $p=3k+1$.
De manera análoga, como $p+q+1$ es primo y $p=3k+1$, tenemos que $q$ no puede ser de la forma $3r+1$ para $r$ entero y $r\geq 1$. Si $q=3r+2$, entonces

$q+4=3r+2+4=3r+6=3(r+2),$

no es primo por ser múltiplo de 3. Hemos deducido que $q$, que es primo, solo puede ser $3$.

Como queremos el mayor valor posible para $p+q$, entonces buscamos $p$ el mayor primo menor que $100$ de la forma $3k+1$, es decir $97$. En consecuencia, tenemos $p+6=103$, $p+10=107$, $q+4=7$, $q+10=13$ y $p+q+1=101$, todos primos. El mayor valor de $p+q$ es entonces $100$.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2015 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Article original édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

— «Julio 2015, primer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - Ievgen Sosnytskyi / SHUTTERSTOCK

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