Enunciado

La respuesta es $\widehat{BCA}=72^{\circ}$.

Como el triángulo $ABC$ es isósceles y $AB=AC$, tenemos

$\widehat{CAB} = 180^\circ - 2\widehat{BCA}.$

Ahora, como el triángulo $DBC$ es isósceles (porque $BD=BC$), tenemos $\widehat{BCA}=\widehat{CDB}$. Finalmente, como el triángulo $ABD$ es isósceles, deducimos que $AD$ es menor que $AB$ y entonces $AD=BD$. Así, $\widehat{ABD}=\widehat{DAB}=\widehat{CAB}$. Entonces

$2\widehat{CAB} +\widehat{BDA} = 180^\circ$

$2\widehat{CAB} = 180^\circ -\widehat{BDA}$

$2\widehat{CAB} = 180^\circ -(180^\circ-\widehat{CDB})$

$2\widehat{CAB} = \widehat{CDB}$

$\widehat{CAB} = \frac{\widehat{BCA}}{2}.$

Volviendo al triángulo $ABC$ tenemos $180^\circ= 2\widehat{BCA} +\frac{1}{2}\widehat{BCA}$ lo que implica $\widehat{BCA}=\frac{2\times 180^\circ}{5}=72^\circ$.