Un desafío por semana

Julio 2015, tercer desafío

El 17 julio 2015  - Escrito por  Ana Rechtman
El 17 julio 2015
Artículo original : Juillet 2015, 3e défi Ver los comentarios
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2015 cada viernes, y su solución a la semana siguiente.

Semana 29:

¿Cuántos números de tres dígitos son divisibles por $45$ y sus dígitos, reordenados si es necesario, están en progresión aritmética?

Solución del segundo desafío de julio:

Enunciado

La respuesta es solamente $2$ números.

Supongamos que podemos agregar al menos tres números más, a los que llamaremos $a$, $b$ y $c$. La suma de los seis números anteriores a $a$ es

$2\times(-13)+4\times5=-6,$

por lo que $a$ debe ser igual a $5$ para que la suma sea $-1$. Además, la suma de los once números hasta $a$ es $3\times(-13)+8\times 5 =1$, lo que confirma que $a$ debe ser igual a $5$. De la misma manera, la suma de seis números anteriores a $b$ es $-6$, por lo que $b$ debe ser también igual a $5$ y podemos comprobar de nuevo que la suma de los once números hasta $b$ es $1$.

Para terminar, la suma de los seis números anteriores a $c$ es $5\times5+(-13)=12$, lo que implica que $c$ debe valer $-13$. Pero la suma de los diez últimos números antes que $c$ es de $3\times(-13)+7\times5=-4$, por lo que $c$ debe tomar el valor de $5$. Como $c$ no puede ser $5$ y $-13$ al mismo tiempo, es imposible agregar más números.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2015 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos: Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Artículo original editado por Ana Rechtman

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Para citar este artículo:

— «Julio 2015, tercer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada - Ievgen Sosnytskyi / SHUTTERSTOCK

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