Un desafío por semana

Julio 2016, cuarto desafío

El 22 julio 2016  - Escrito por  Ana Rechtman
El 22 julio 2016
Artículo original : Juillet 2016, 4e défi Ver los comentarios
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2016 cada viernes, y su solución a la semana siguiente.

Semana 30 :

Encontrar todos los número primos $p$, $q$ y $r$, con $p>q>r$, tales que los números $p-q$, $p-r$ y $q-r$ sean también primos.

Solución del tercer desafío de julio:

Enunciado

La respuesta es $1{,}5$ cm.

Llamemos $T$ al punto donde la semicircunferencia es tangente al lado $AC$ y $O$ al centro de la circunferencia de radio $r$. Los triángulos $AOB$ y $AOT$ son congruentes pues $\angle OBA=\angle ATO = 90^\circ$, ambos tienen un lado que mide $r$ y además tienen un lado en común. Por lo tanto, $AT= AB=3$ cm y $TC= 5-3=2$ cm.

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Los triángulos $OTC$ y $ABC$ son semejantes ya que tienen en común el ángulo en $C$ y ambos tienen un ángulo recto. Luego,

$\frac{2}{4}=\frac{TC}{BC}=\frac{OT}{AB}=\frac{r}{3},$

de donde $r=\frac{3}{2}=1{,}5$ cm.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2016 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos: Ian Stewart.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Artículo original editado por Ana Rechtman

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Para citar este artículo:

— «Julio 2016, cuarto desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

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