Un desafío por semana

Julio 2016, segundo desafío

El 8 julio 2016  - Escrito por  Ana Rechtman
El 8 julio 2016
Artículo original : Juillet 2016, 2e défi Ver los comentarios
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2016 cada viernes, y su solución a la semana siguiente.

Semana 28:

Cada vértice de un pentágono debe ser pintado. Disponemos de $6$ colores distintos. Cada diagonal tiene que tener dos colores diferentes en sus extremos. Si no tomamos en cuenta los casos que se obtienen al rotar otra configuración, ¿de cuántas maneras podemos pintar los vértices del pentágono respetando esta regla?

Solución del primer desafío de julio:

Enunciado

La respuesta es $\frac{18}{7}$.

La igualdad

$6=\frac{a+b}{a-b}+\frac{a-b}{a+b}=\frac{(a+b)^2+(a-b)^2}{(a-b)(a+b)}=\frac{2a^2+2b^2}{a^2-b^2}$

implica que $6a^2-6b^2=2a^2+2b^2$ o $a^2=2b^2$. Tenemos entonces $(a^2)^3=a^6=8b^6$, por lo que

$\frac{a^3+b^3}{a^3-b^3}+\frac{a^3-b^3}{a^3+b^3} = \frac{2a^6+2b^6}{a^6-b^6}$

$= \frac{18b^6}{7b^6}$

$= \frac{18}{7}.$

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2016 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos: Ian Stewart.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

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Para citar este artículo:

— «Julio 2016, segundo desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

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