Un desafío por semana

Julio 2016, tercer desafío

El 15 julio 2016  - Escrito por  Ana Rechtman
El 15 julio 2016
Artículo original : Juillet 2016, 3e défi Ver los comentarios
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2016 cada viernes, y su solución a la semana siguiente.

Semana 29 :

La semicircunferencia tiene su diámetro ubicado sobre un lado del triángulo y es tangente a los otros dos. ¿Cuál es el largo de su radio?

PNG - 20.7 KB

Solución del segundo desafío de julio:

Enunciado

La respuesta es de $624$ maneras.

No es posible pintarlo con menos de $3$ colores. Con $3$ colores hay solo una manera de ubicarlos en el pentágono: dos pares de vértices adyacentes de un color cada par, y el último vértice del tercer color (recuerda que no estamos considerando las configuraciones que se obtienen al rotar como diferentes). Esto lo representaremos por $aabcc$, con $a, b$ y $c$ los tres colores elegidos entre los seis disponibles. Entonces para cada elección de tres colores, hay una sola manera de ubicarlos en el pentágono. Para escoger el color $a$ tenemos $6$ opciones, para $b$ tenemos $5$ y para $c$ tenemos $4$. Obtenemos entonces $6 \times 5 \times 4 = 120$ maneras de pintar el pentágono con tres colores.

Análogamente, si tenemos $4$ colores, necesariamente habrá un color utilizado por dos vértices adyacentes. Entonces el pentágono estará pintado de la manera $aabcd$. Luego, tenemos $6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$ formas de escoger los cuatro colores, es decir, $360$ maneras de pintar el pentágono.

Finalmente, al usar $5$ colores obtenemos $6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 6! = 720$ posibilidades. Pero cuidado, el orden $abcde$ es equivalente, por ejemplo, al orden $bcdea$, después de aplicar una rotación. Entonces, tenemos que dividir por $5$ las posibilidades, obteniendo así $\frac{720}{5}=144$ maneras posibles.

En total, tenemos $120+360+144=624$ maneras distintas de pintar el pentágono.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2016 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos: Ian Stewart.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Artículo original editado por Ana Rechtman

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Para citar este artículo:

— «Julio 2016, tercer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

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