Enunciado

La respuesta es de $624$ maneras.

No es posible pintarlo con menos de $3$ colores. Con $3$ colores hay solo una manera de ubicarlos en el pentágono : dos pares de vértices adyacentes de un color cada par, y el último vértice del tercer color (recuerda que no estamos considerando las configuraciones que se obtienen al rotar como diferentes). Esto lo representaremos por $aabcc$, con $a, b$ y $c$ los tres colores elegidos entre los seis disponibles. Entonces para cada elección de tres colores, hay una sola manera de ubicarlos en el pentágono. Para escoger el color $a$ tenemos $6$ opciones, para $b$ tenemos $5$ y para $c$ tenemos $4$. Obtenemos entonces $6 \times 5 \times 4 = 120$ maneras de pintar el pentágono con tres colores.

Análogamente, si tenemos $4$ colores, necesariamente habrá un color utilizado por dos vértices adyacentes. Entonces el pentágono estará pintado de la manera $aabcd$. Luego, tenemos $6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$ formas de escoger los cuatro colores, es decir, $360$ maneras de pintar el pentágono.

Finalmente, al usar $5$ colores obtenemos $6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 6! = 720$ posibilidades. Pero cuidado, el orden $abcde$ es equivalente, por ejemplo, al orden $bcdea$, después de aplicar una rotación. Entonces, tenemos que dividir por $5$ las posibilidades, obteniendo así $\frac{720}{5}=144$ maneras posibles.

En total, tenemos $120+360+144=624$ maneras distintas de pintar el pentágono.