Enunciado

La respuesta es: 12 maneras.

Llamemos $x$ a la suma de los dígitos que están en las posiciones impares del número de cinco cifras, e $y$ la suma de los dígitos de las posiciones pares. Notemos que para que el número sea divisible por $11$, $x-y$ debe ser igual a $-11$, $0$ u $11$, y como $x+y=1+2+4+7+9=23$, obtenemos que $x-y=-11$ o $x-y=11$.

Si $x-y=-11$ tenemos que $(x-y)-(x+y)=-2y=-34$ e $y=17$. Como
$y$ es la suma de dos de los dígitos iniciales, $y\leq 9+7=16$; por lo que no es posible tener $x-y=-11$.

Si $x-y=11$ tenemos que $(x-y)+(x+y)=2x=34$, de donde $x=17$. Luego, los tres números en la posiciones impares son $1$, $7$ y $9$, en un orden cualquiera, y en la posiciones pares se encuentran el $2$ y el $4$. Además, tenemos dos posibilidades para ubicar el $2$ y el $4$, y seis posibilidades para el $1$, el $7$ y el $9$. Por lo tanto, hay $2\times 6=12$ múltiplos de $11$ formados por estos dígitos.