Un desafío por semana

Julio 2019, cuarto desafío

Le 26 juillet 2019  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 26 juillet 2019
Article original : Juillet 2019, 4e défi Voir les commentaires
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Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente. ¡El calendario 2019 está en librerías (en Francia) !

Semana 30

Si definimos el reverso de un número entero de dos cifras como el número que se obtiene al permutar sus dos cifras (por ejemplo, el reverso de $34$ es $43$), ¿cuántos números enteros de dos cifras hay tales que si añadimos el número a su reverso, obtenemos un número entero al cuadrado ?

Solución del tercer desafío de julio :

Enunciado

La solución es : $28$ dulces.

El número de dulces que cada niño recibe corresponde a potencias sucesivas de $2$. Ana reparte entonces los dulces de la manera siguiente :
\[ 1 + 2 + 2^2 + 2^3 +\cdots + 2^n = \frac{2^{n+1} - 1}{2 - 1} = 2^{n+1} - 1. \]

La potencia más pequeña de $2$ que excede $2019$ es $2^{11} = 2048$. Por consiguiente, $2047 = 2^{11} - 1$ es el número mínimo de dulces con el que Ana debe contar si quiere repartirlos como desea.

Por lo tanto, le faltan $2047 - 2019 = 28$ dulces.

Post-scriptum :

Calendario matemático 2019 (versión en español) - Bajo la dirección de Anne Alberro y Radmila Bulajich - 2018, Googol S.A. de C.V. Todos los derechos reservados.

Calendario matemático 2019 (versión francesa) - Bajo la dirección de Ana Rechtman, con la contribución de Nicolas Hussenot - Textos : Claire Coiffard-Marre y Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Todos los derechos reservados.

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Pour citer cet article :

— «Julio 2019, cuarto desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Crédits image :

Image à la une - ARES JONEKSON / SHUTTERSTOCK

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