Un desafío por semana

Julio 2020, cuarto desafío

Le 24 juillet 2020  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 24 juillet 2020
Article original : Juillet 2020, 4e défi Voir les commentaires
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Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente. ¡El calendario 2020 ya está en librerías (en México) !

Semana 30 Un número es antiguo si está formado por bloques de cuatro dígitos y que cada bloque es $2019$. Por ejemplo, $201\,920\,192\,019$ es un número antiguo, mientras que $202\,019$ y $20\,192\,020$ no lo son.

¿Existe un número antiguo que sea el cuadrado de algún número entero ?

Solución del tercer desafío de julio :

Enunciado

La respuesta es : $133\,533$.

A continuación ofrecemos dos soluciones (¡por fortuna, ambas dan el mismo resultado !).

Solución 1 : Para todo entero $b$, tenemos que
\[ f(1,b) = 1 + 2 +\dots + b = \frac{b (b+1)}2 \].

Entonces
\[ \begin{align*} f(133,533) &= 133 + 134 + 135 +\dots + 532 + 533 \\ &=1 + 2 +\dots + 532 + 533 - (1 + 2 +\dots + 131 + 132)\\ &= \frac{533\times 534}2 -\frac{132\times 133}2\\ &= 142\,311 - 8778 \\ &= 133\,533. \end{align*}\]

Solución 2 :
Pongamos $a = 133$ y consideremos la progresión aritmética $a, a+1, a+2,\dots, a+400$. Entonces la suma que queremos calcular es
\[ \begin{align*} 133 + 134 +\cdots + 533 &= 401 a + (0 + 1 + 2 +\cdots + 400)\\ &= 401 a + 200\times 401\\ &= 401 (a + 200)\\ &= 401 (133 + 200)\\ &= 401\times 333\\ &= 133\,533. \end{align*} \]

Post-scriptum :

Calendario matemático 2020 (versión en español) - Bajo la dirección de Anne Alberro y Radmila Bulajich - 2019, Googol S.A. de C.V. Todos los derechos reservados.

Calendario matemático 2020 (versión francesa) - Bajo la dirección de Ana Rechtman, con la contribución de Nicolas Hussenot - Textos : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Todos los derechos reservados.

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Pour citer cet article :

— «Julio 2020, cuarto desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Crédits image :

Image à la une - KTSDESIGN / SHUTTERSTOCK

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