Un desafío por semana

Julio 2020, tercer desafío

Le 17 juillet 2020  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 17 juillet 2020
Article original : Juillet 2020, 3e défi Voir les commentaires
Lire l'article en  

Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente. ¡El calendario 2020 ya está en librerías (en México) !

Semana 29 Escribamos como $f(a,b)$ la suma de los enteros comprendidos entre $a$ y $b$. Por ejemplo, $f(2,4) = 2 + 3 + 4 = 9$.

¿Cuánto vale $f(133, 533)$ ?

Solución del segundo desafío de julio :

Enunciado

La respuesta es : $35$ metros.

Consideremos el triángulo $ABC$. Por el teorema de Pitágoras, tenemos que $AB^2 + BC^2 = AC^2 = 85~\mathrm{m}^2$.

Como las longitudes $AB$ y $BC$ son número enteros, buscamos descomponer $85$ en suma de dos cuadrados, y no hay más que dos posibilidades : $85 = 9^2 + 2^2 = 7^2 + 6^2$.

Como $CDE$ también es un triángulo rectángulo con $CE^2 = 85~\mathrm{m}^2$, por el mismo razonamiento $CD$ y $DE$ satisfacen la misma propriedad.

Como las longitudes $AB, BC, CD$ y $DE$ son distintas, deducimos que en conjunto han de valer $2$, $6$, $7$ y $9$, y que entonces $AB + BC + CD + DE = 2 + 6 + 7 + 9 = 24~\mathrm{m}$.

Ahora hay que determinar $EF + FA$.

Como el triángulo $EFA$ no se reduce a un segmento, tenemos que $EF + FA > EA = \sqrt{85}~\mathrm{m}$.

Como $EF$ y $FA$ son longitudes enteras, tenemos pues que $EF + FA\ge 10~\mathrm{m}$.

Les descomposiciones posibles de $10$ en suma de dos enteros son
\[ 10 = 9+1 = 8+2 = 7+3 = 6+4 = 5+5. \]
En las cuatro primeras figura una longitud ya tomada por $AB, BC, CD$ o $DE$. En la última ($10 = 5 + 5$), tenemos $EF = FA$, lo cual no es posible.

Tenemos entonces que $EF + FA\ge 11~\mathrm{m}$. En este caso, podemos tener, por ejemplo, $EF = 8~\mathrm{m}$ y $FA = 3~\mathrm{m}$.

Por consiguiente, el perímetro de $ABCDEF$ es de al menos $24 + 11 = 35~\mathrm{m}$.

Post-scriptum :

Calendario matemático 2020 (versión en español) - Bajo la dirección de Anne Alberro y Radmila Bulajich - 2019, Googol S.A. de C.V. Todos los derechos reservados.

Calendario matemático 2020 (versión francesa) - Bajo la dirección de Ana Rechtman, con la contribución de Nicolas Hussenot - Textos : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Todos los derechos reservados.

Partager cet article

Pour citer cet article :

— «Julio 2020, tercer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Crédits image :

Image à la une - KTSDESIGN / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?