Enunciado

Observemos primero que, sea cual sea la manera en la dispongamos los enteros, automáticamente obtendremos:

• los totales $n$ de $1$ a $5$ como suma de un solo entero, a saber, $n$ mismo;

• el total $15$ como suma de los cinco enteros;

• los totales de $10$ a $14$, que son de la forma $15 - n$ con $1\leqslant n\leqslant 5$, esto es, que son suma de los cuatro enteros distintos de $n$ y que sobre el círculo son inmediatamente consecutivos.

No nos queda más que arreglar los enteros para obtener los totales de $6$ a $9$.

Por cierto, si la suma de dos enteros consecutivos hace un total $n$, los tres restantes son igualmente consecutivos y hacen el total de $15-n$, así que basta con ubicar los enteros de tal manera que la suma de dos consecutivos dé ya sea $6$, ya $9 = 15 - 6$, y que la suma de dos otros consecutivos dé ya sea $7$, ya $8$. Por caso, utilicemos el hecho de que $2 + 4 = 6$ y que $4 + 3 = 7$ para colocar los cinco enteros de la manera conveniente a continuación: