Un desafío por semana

Julio 2022, cuarto dasafío

Le 22 juillet 2022  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 22 juillet 2022
Article original : Juillet 2022, 4e défi Voir les commentaires
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Proponemos un desafío del calendario matemático cada viernes y su solución la semana siguiente.

Semana 29
¿Cuántos triángulos hay en esta figura ?

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Solución del tercer desafío de julio 2022 :

Enunciado

Comencemos escribiendo las soluciones de la ecuación $15a-13b=1$ en forma parametrizada. Para esto, comenzamos determinando una solución particular. Tenemos inicialmente :
\[ \begin{eqnarray*} 15 & = & 13\times 1+ 2\\ 13 & = & 2\times 6+ 1. \end{eqnarray*} \]
Substituyendo, tenemos :
\[ \begin{eqnarray*} 1 & = & 13- 2\times 6\\ 1 & = & 13 -(15-13)\times 6\\ 1& = & 13\times 7 -15\times 6. \end{eqnarray*} \]
Se deduce que $a=-6$ y $b=-7$ forman una solución particular de $15a-13b=1$. Toda otra solución $(a,b)$ verifica entonces :
\[ \begin{eqnarray*} 15 a -13b &=&13\times 7 -15\times 6\\ 15(a+6)&=&13(7+b). \end{eqnarray*} \]
Se desprende entonces que se puede parametrizar las soluciones $a$ y $b$ en la forma $a=13n-6$ y $b=15n-7$, donde $n$ describe el conjunto de los enteros.

Con esta parametrización, la cantidad a maximizar es $a+b=28n-13$, que es estrictamente creciente en función de $n$. Debemos entonces determinar el mayor valor de $n$ compatible compatible con condición $a=13n-6\leq 500$ y $b=15n-7\leq 500$.

Cuando $n>0$, se tiene $b=15n-7>13n-6=a$. Por tanto, la condición $a \leq 500, b\leq 500$ implica $15n\leq 507$, es decir, $n\leq 33$. Para $n=33$ obtenemos $a+b=28n-13=28\times 33-13=911$.

Respuesta : $a+b=911$.

Post-scriptum :

Calendario matemático 2022 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich.

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Pour citer cet article :

— «Julio 2022, cuarto dasafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2022

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