Un desafío por semana

Julio 2022, tercer desafío

Le 15 juillet 2022  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 16 juillet 2022
Article original : Juillet 2022, 3e défi Voir les commentaires
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Proponemos un desafío del calendario matemático cada viernes y su solución la semana siguiente.

Semana 28

Determinar el mayor valor de $a+b$ cuando $a$ y $b$ son enteros menores que $500$ y verifican $15a-13b=1$.

Solución del segundo desafío de julio 2022 :

Enunciado

Comencemos escribiendo $n^2+6n = n(n+6)$.

Si $n=1$, entonces $n(n+6)=7$, que es primo, por lo que el $n=1$ sirve.

Si $n>1$ y si $n(n+6)$ es una potencia de un número primo $p$, entonces $p$ divide a $n$ y $n+6$, por lo que divide también a su diferencia $6$, lo cual nos da $p=2$ o $p=3$.

  • Si $p=2$, entonces $n$ y $n+6$ son potencias de $2$. Como $2$ y $8$ son las únicas dos potencias de 2 cuya diferencia vale $6$, se deduce que $n=p=2$.
  • Si $p=3$, entonces $n$ y $n+6$ son potencias de $3$. Como $3$ y $9$ son las únicas potencias de 3 cuya diferencia es $6$, se deduce que $n=p=3$.

Finalmente, $n$ es igual a $1$, $2$ o $3$.

Respuesta : $1$, $2$ ou $3$

Post-scriptum :

Calendario matemático 2022. Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich.

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Pour citer cet article :

— «Julio 2022, tercer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2022

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