Un desafío a la semana

Junio 2014, segundo desafío

El 13 junio 2014  - Escrito por  Ana Rechtman
El 10 junio 2014
Artículo original : Juin 2014, 2ème défi Ver los comentarios
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2014. Su solución aparecerá cuando se publique el siguiente desafío.

Semana 24:

El valor absoluto del número $x$ se nota como $|x|$. Por ejemplo, $|5|=|-5|=5$.
¿Cuántos números reales $x$ satisfacen la ecuación

$|||||x-1|-2|-3|-4|-5|=0$ ?

Solución del primer desafío de junio

Enunciado

La respuesta es sí.

Comencemos con un damero de $2\times 2$ . Una manera de construirlo es

Ahora vamos a construir un damero de $4\times 4$ . Para hacer esto, utilizaremos el damero de $2\times 2$ . Para que las sumas obtenidas sigan siendo distintas, agregamos $1$ y $-1$ de la manera siguiente:

Para completar el damero, basta con incluir el damero de $2\times 2$ que hemos construido, pero dándolo vuelta:

Observamos que podemos construir un damero de $(2k+2)\times (2k+2)$ a partir de un damero de $2k \times 2k$. En el damero de $2k \times 2k$ las sumas serán iguales a $-(2k-1)$, $-(2k-2)$, $\dots$, $-(2k-(2k-1))$, $0$, $\ldots, 2k$. Por lo tanto, para construir un damero de $(2k+2)\times (2k+2)$ se coloca un damero de $2k \times 2k$ en la parte superior izquierda, luego se dispone los números $1$ en las $2k$ primeras casillas de la $(2k+1)$-ésima línea y los números $-1$ en las $2k$ primeras casillas de la $(2k+2)$-ésima línea y en las $2k$ primeras casillas de la $(2k+2)$-ésima columna. Finalmente, se coloca el damero de $2\times 2$ que se construyó al inicio, pero con las líneas invertidas.

Se ve que las sumas de los números de las $(2k+2)$ columnas y de las $(2k+2)$ líneas del damero de $(2k+2)\times (2k+2)$ van de $-(2k+1)$ a $(2k+2)$. De esta manera se tiene todos los números de $-(2k+1)$ a $2k+2$. Así, es posible construir un damero de $2n\times 2n$ para todo natural positivo $n$ . En particular, es posible construir un damero de $1000\times 1000$.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2014 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos: Étienne Ghys - Ilustraciones: Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Artículo original editado por Ana Rechtman

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Para citar este artículo:

— «Junio 2014, segundo desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada - ’’Un nudo y su superficie de Seifert’’, por Jos Leys

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