Un desafío por semana

Junio 2015, primer desafío

Le 5 juin 2015  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 5 juin 2015
Article original : Juin 2015, 1er défi Voir les commentaires
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2015 cada viernes, y su solución a la semana siguiente.

Semana 23 :

Si escribimos los números del $0$ al $2015$ en base $3$, ¿cuántos de estos son números capicúa (también llamados números palíndromos, son los números que se leen de igual manera de izquierda a derecha que de derecha a izquierda) ?

Solución del quinto desafío de mayo :

Enunciado

La respuesta es $\frac{3}{4}$.

Los puntos coordenados $(x,y)$ que están a la misma distancia del origen que del punto $(3,1)$ satisfacen la ecuación :

$x^2+y^2 = (3-x)^2+(1-y)^2$

$0 = 9-6x+1-2y$

$6x+2y = 10.$

En otras palabras, estos son los puntos ubicados en la recta de ecuación $y=5-3x$, la cual pasa por los puntos $(0,5)$ y $(\frac{5}{3},0)$. Esta recta divide el rectángulo definido por los vértices de coordenadas $(0,0), (2,0), (2,1)$ y $(0,1)$ en dos trapecios.

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Para calcular la probabilidad de que un punto $P$ esté más cerca del origen que del punto $(3,1)$, debemos dividir el área del trapecio izquierdo por el área del rectángulo. Dado que las bases del trapecio izquierdo miden $\frac{5}{3}$ y $\frac{4}{3}$ respectivamente, el área del trapecio es igual a :

$\frac{\left(\frac{5}{3}+\frac{4}{3}\right)1}{2}=\frac{3}{2}.$

Por lo tanto, la probabilidad buscada es igual a

$\frac{\frac{3}{2}}{2\times 1}=\frac{3}{4}$.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2015 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos : Ian Stewart. 2014, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Article original édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

— «Junio 2015, primer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - Denis Burdin / SHUTTERSTOCK

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