Un desafío por semana

Junio 2015, segundo desafío

Le 12 juin 2015  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 12 juin 2015
Article original : Juin 2015, 2e défi Voir les commentaires
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2015 cada viernes, y su solución a la semana siguiente.

Semana 24 :

Un triángulo $ABC$ es rectángulo en $B$. Los puntos $M$ y $N$ son los puntos medios de los segmentos $AB$ y $BC$ respectivamente. Si $AN=19$ cm y $MC=22$ cm, ¿cuál es el largo del segmento $AC$ ?

Solución del primer desafío de junio :

Enunciado

La respuesta es $101$ números.

Notemos que al escribir en base $3$ los números del $0$ al $2015$ (que se escribe $2\,202\,122$ en base $3$) obtenemos números de $1$ a $7$ dígitos.

Los tres primeros números $0$, $1$ y $2$ son evidentemente capicúas. Las capicúas de dos dígitos son aquellos con los dígitos idénticos. Existen entonces dos posibilidades : $11$ y $22$.

Los números capicúa de tres dígitos tienen el primer y último dígito iguales, y al medio pueden tener un $0$, $1$ o $2$. El primer y último dígito pueden ser $1$ o $2$, por lo que tenemos $2\times 3 = 6$ capicúas de tres dígitos.

Las capicúas de cuatro dígitos se escriben sabiendo los dos primeros dígitos o los dos últimos. El primer dígito debe ser distinto de cero, por lo que existen dos posibilidades para el primer dígito y tres para el segundo, para un total de $2\times 3 = 6$ capicúas de cuatro dígitos.

Las capicúas de cinco dígitos tienen el primer y último dígito iguales, y pueden tomar los valores $1$ o $2$. El segundo dígito puede ser tanto $0$, $1$ o $2$, al igual que el tercer dígito. El cuarto y quinto están determinados por los dos primeros. Tenemos entonces $2\times 3\times 3 = 18$ capicúas diferentes de cinco dígitos.

Las capicúas de seis dígitos tienen el primer y último dígito iguales, y pueden tomar los valores $1$ o $2$. El segundo y tercer dígito pueden ser $0$, $1$ o $2$. El cuarto, quinto y sexto dígito están determinados por los tres primeros. Tenemos entonces $2\times 3\times 3 = 18$ capicúas diferentes de seis dígitos.

Para las capicúas de siete dígitos tenemos que tener cuidado de solo tomar aquellas que son menores a $2\,202\,122$. Tomaremos entonces todos los números, salvo los que comienzan con $221$ y $222$, y que tienen a cualquier dígito en cuarto lugar. Estos son $2\times 3 = 6$ números que no contaremos. Como podemos elegir entre dos posibilidades para el primer dígito, y entre tres para el segundo, tercero y cuarto dígito, obtenemos

$2\times 3\times 3\times 3 = 54$

capicúas de siete dígitos, total al que debemos sustraer los $6$ que son mayores a $2\,202\,122$. Hay entonces $54 - 6 = 48$ capicúas de siete dígitos que cumplen el enunciado del problema.

En conclusión, hemos contado $3+2+6+6+18+18+48 = 101$ números capicúa menores a $2\,202\,122$ en base $3$.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2015 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Article original édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

— «Junio 2015, segundo desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - Denis Burdin / SHUTTERSTOCK

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