Un desafío por semana

Junio 2016, primer desafío

El 3 junio 2016  - Escrito por  Ana Rechtman
El 3 junio 2016
Artículo original : Juin 2016, 1er défi Ver los comentarios
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2016 cada viernes, y su solución a la semana siguiente.

Semana 23:

Sea $ABCD$ un cuadrado de lado $6$ cm. El punto $P$ divise al lado $AB$ de tal manera que la razón de los largos $AP : PB$ es $2$ es a $1$. Ubiquemos un punto $Q$ al interior del cuadrado tal que $AQ = PQ = CQ$. ¿Cuál es el área del triángulo $QPC$ ?

Solución del cuarto desafío de mayo:

Enunciado

La respuesta es: Nora: $8$; María: $7$; Irene: $5$.

Razonemos según el número de victorias de Nora.

Hay dos casos (disjuntos) en los cuales Nora no gana: si María llega antes que ella (sabemos que esto pasa $11$ veces) y si el orden de llegada es ’’Irene, Nora, María’’ (según el enunciado, esto pasa al menos una vez). De esto se deduce que Nora no gana más de $20 - 11 -1 = 8$ veces.

Por otra parte, Irene le ganó a María $12$ veces. Dicho de otro modo, María le ganó a Irene $20 - 12 = 8$ veces. Esto corresponde a tres ordenes de llegada posibles: ’’María, Irene, Nora’’, ’’Nora, María, Irene’’, ’’María, Nora, Irene’’. Una vez más, cada uno de estos órdenes de llegada sucede al menos una vez, por lo que podemos afirmar que el orden ’’María, Nora, Irene’’ no sucede más de $6$ veces.

Sin embargo, cuando Nora le gana a Irene (lo que sucede $14$ veces), se tiene que Nora llega primero, o llegan en el orden ’’María, Nora, Irene’’. Dado que este orden no ocurre más de $6$ veces, Nora ganó al menos $14 - 6 = 8$ veces.

Por lo tanto, hemos establecido que Nora ha ganado la carrera exactamente $8$ veces.

Retomando el razonamiento que acabamos que hacer, vemos que esto implica que los órdenes ’’María, Nora, Irene’’ y ’’María, Irene, Nora’’ suceden $6$ y $1$ veces, respectivamente. Por lo tanto, María ganó $7$ veces, e Irene ganó $20 - 8 - 7 = 5$ veces.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2016 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos: Ian Stewart.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Artículo original editado por Ana Rechtman

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Para citar este artículo:

— «Junio 2016, primer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

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