Enunciado

La respuesta es $10$ cm$^2$.

Observemos primero que, como $AP:PB=2$ y $AB=6$ cm, tenemos que $AP=4$ cm y $PB=2$ cm. Tracemos la recta $ST$ paralela a $AD$ que pasa por el punto $Q$.

Dado que el triángulo $APQ$ es isósceles en $Q$, $S$ es el punto medio del segmento $AP$. Además los triángulos $AQD$ y $CQD$ son congruentes pues sus lados son iguales. Luego, los ángulos $\angle ADQ$ y $\angle CDQ$ son iguales y miden $45^\circ$. El triángulo $QTD$ es entonces rectángulo isósceles con $QT=TD=2$ cm. El área del triángulo $QPC$ es igual al área del cuadrado que mide $6\times 6=36$ cm$^2$ menos

• el área del triángulo $APQ$ que mide :

$\frac{AP\times SQ}{2}=\frac{4\times (6-2)}{2}=8\,\mbox{cm}^2;$

• el área del triángulo $PBC$ que mide :

$\frac{6\times 2}{2}=6\,\mbox{cm}^2;$

• y dos veces el área del triángulo $CQD$ que mide :

$\frac{CD\times QT}{2}=\frac{6\times 2}{2}=6\,\mbox{cm}^2.$

Por lo tanto el área del triángulo $QPC$ es $36-(8+6+12)=10$ cm$^2$.