Un desafío por semana

Junio 2016, tercer desafío

Le 17 juin 2016  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 17 juin 2016
Article original : Juin 2016, 3e défi Voir les commentaires
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2016 cada viernes, y su solución a la semana siguiente.

Semana 25 :

¿De cuántas maneras diferentes podemos ordenar los números $\{1,2,3,4,5,6\}$ si queremos que el producto de dos números adyacentes cualesquiera sea siempre par ?

Solución del segundo desafío de junio :

Enunciado

La respuesta es $n=10$.

Comenzamos con $(a_0,b_0,c_0)=(1,2,3)$, luego $(a_1,b_1,c_1)=(3,5,4)$ y $(a_2,b_2,c_2)=(8,9,7)$, etc. Sea $x_0=a_0+b_0+c_0=6$. Tenemos :

$x_1=a_1+b_1+c_1 = (a_0+b_0)+(b_0+c_0)+(c_0+a_0)$

$ = 2(a_0+b_0+c_0)=2x_0=12.$

Análogamente, $x_2=a_2+b_2+c_2=2x_1=4x_0=24$, y sucesivamente obtenemos :
$x_1=2x_0$, $x_2=2x_1=2^2 x_0$, $x_3=2x_2=2^3 x_0$ y $x_n= 2^n x_0$. Buscamos entonces un $n$ que cumpla : $1000 < \frac{2^n\,x_0}{x_0}= 2^n < 2000$. Este es $n=10$, pues $1000 < 1024 < 2000$.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2016 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos : Ian Stewart.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Article original édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

— «Junio 2016, tercer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

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