Un desafío por semana

Junio 2017, primer desafío

Le 2 juin 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 2 juin 2017
Article original : Juin 2017, 1er défi Voir les commentaires
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2017 cada viernes, y su solución a la semana siguiente.

Semana 22 :

En el fondo de un armario oscuro, Nahuel tiene un cajón que contiene $6$ calcetines negros, $14$ azules y $8$ verdes. Cuando toma un calcetín no ve su color. ¿Cuántos calcetines debe sacar del cajón para asegurarse de tener dos del mismo color ?

Solución del cuarto desafío de mayo :

Enunciado

La respuesta es $144$ maneras.

La suma de todos los números vale $1{+}2{+}3{+}\dots{+}7= \frac{7\times 8}2=28$. Sea $x$ el número del centro. La suma de los otros vale entonces $28-x$. Como debemos tener tres pares que sumen lo mismo, el número $28-x$ debe ser divisible por $3$. Luego, $x$ debe valer $1$, $4$ o $7$. Veamos cada uno de estos casos :

  • Si $x=1$, entonces la suma de los números de cada triángulo vale $1+\frac{27}3=10$. Por lo tanto, el $2$ debe estar pareado con el $7$, el $3$ con el $6$ y el $4$ con el $5$.
    Para ubicar al $2$ tenemos $6$ opciones. Una vez hecha esta elección, el lugar del $7$ ya está determinado, pues debe estar en el mismo triángulo. Luego, tenemos $4$ opciones para el $3$, y esto determina el lugar del $6$. Finalmente, hay $2$ opciones para el $4$, y esto determina el lugar del $5$.
    En total tenemos $6\times 4\times 2=48$ maneras en este caso.
  • Si $x=4$, entonces la suma de los números de cada triángulo vale $4+\frac{24}3=12$. Por lo tanto, el $1$ debe estar pareado con el $7$, el $2$ con el $6$ y el $3$ con el $5$. Al igual que en el caso anterior, tenemos $48$ maneras de ubicar los números.
  • Si $x=7$, entonces la suma de los números de cada triángulo vale $7+\frac{21}3=14$. Por lo tanto, el $1$ debe estar pareado con el $6$, el $2$ con el $5$ y el $3$ con el $4$. Como en los dos casos anteriores, tenemos $48$ maneras de ubicar estos números.

Finalmente, hay en total $3\times 48=144$ maneras de ubicar los números.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2017 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos : Ian Stewart.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

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Pour citer cet article :

— «Junio 2017, primer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - ARTEMAVETISYAN/SHUTTERSTOCK

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