Un desafío por semana

Junio 2017, quinto desafío

Le 30 juin 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 30 juin 2017
Article original : Juin 2017, 5e défi Voir les commentaires
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2017 cada viernes, y su solución a la semana siguiente.

Semana 26 :

Si $C$ se encuentra sobre $AB$ de manera que $AC=2\times CB$ y $CD$ es perpendicular a $AB$, ¿cuál es la razón entre las áreas de los triángulos $ABD$ y $CDE$ ?

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Solución del cuarto desafío de junio :

Enunciado

La respuesta es $17$ números.

Si $m$, $n$ y $p$ son tres enteros elegidos cualesquiera, como $m+p$ y $n+p$ son divisibles por $12$, su diferencia $(m+p)-(n+p)=m-n$ también lo es. Esto implica que, si Lili escogió al menos $3$ números, entonces todos tienen el mismo resto cuando los dividimos por $12$, es decir, que son todos de la forma $12k+c$, con $c$ una constante entre $0$ y $11$ y $k$ entero.
Como la suma de dos números debe ser divisible por $12$, el número $2c$ debe también serlo, por lo que $c=0$ o $c=6$.

Al tomar $c=0$, Lili puede escoger los números $12, 24,\dots, 192=12\times 16$, los cuales son $16$ números.

Al tomar $c=6$, ella puede escoger los números $6, 18, 30,\dots$, $198$, los cuales son $17$ números.

Por lo tanto, Lili puede escoger un máximo de $17$ números.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2017 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos : Ian Stewart.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Article original édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

— «Junio 2017, quinto desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - ARTEMAVETISYAN/SHUTTERSTOCK

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