Enunciado

La respuesta es $17$ números.

Si $m$, $n$ y $p$ son tres enteros elegidos cualesquiera, como $m+p$ y $n+p$ son divisibles por $12$, su diferencia $(m+p)-(n+p)=m-n$ también lo es. Esto implica que, si Lili escogió al menos $3$ números, entonces todos tienen el mismo resto cuando los dividimos por $12$, es decir, que son todos de la forma $12k+c$, con $c$ una constante entre $0$ y $11$ y $k$ entero.
Como la suma de dos números debe ser divisible por $12$, el número $2c$ debe también serlo, por lo que $c=0$ o $c=6$.

Al tomar $c=0$, Lili puede escoger los números $12, 24,\dots, 192=12\times 16$, los cuales son $16$ números.

Al tomar $c=6$, ella puede escoger los números $6, 18, 30,\dots$, $198$, los cuales son $17$ números.

Por lo tanto, Lili puede escoger un máximo de $17$ números.