Un desafío por semana

Junio 2017, tercer desafío

El 16 junio 2017  - Escrito por  Ana Rechtman
El 16 junio 2017
Artículo original : Juin 2017, 3e défi Ver los comentarios
Leer el artículo en  

Les proponemos un desafío del calendario matemático 2017 cada viernes, y su solución a la semana siguiente.

Semana 24 :

En un país viven enanos y elfos. los enanos mienten solo cuando hablan de oro, y los elfos mienten solo cuando hablan de enanos. Dos habitantes, $A$ y $B$, discuten:
—Le robé todo el oro al dragón —dijo $A$.
—Mientes —respondió $B$.
¿A qué especies pertenecen $A$ y $B$ ?

Solución del segundo desafío de junio:

Enunciado

La respuesta es $\frac{7}{2}$.

Entre las $32$ maneras, la primera moneda muestra el $1$ de su sello en $16$, y el $\frac 1 2$ de su cara en las otras $16$.
Denotemos como $a_1, a_2, a_3, \dots, a_{16}$ a los productos de los números visibles cuando la primera moneda muestra sello, entonces, los productos de cuando obtenemos cara son $\frac 1 2a_1, \frac 1 2a_2, \dots, \frac 1 2a_{16}$.
La suma de estos $32$ números vale entonces

$\frac{1}{2}(a_1+a_2+\cdots +a_{16})+1(a_1+a_2+\cdots +a_{16})=\left(1+\frac{1}{2}\right)(a_1+a_2+\cdots +a_{16}) .$

Luego, hacemos el mismo razonamiento para la segunda moneda: entre los dieciséis números $a_1, a_2, \dots, a_{16}$, ocho corresponden al caso cuando la segunda moneda muestra un $1$ y ocho cuando muestra $\frac 1 3$.
Podemos suponer que el primer caso corresponde a los números $a_1, a_2, \dots, a_8$, por lo que la suma vale

$\left(1+\frac{1}{2}\right)(a_1+a_2+\cdots +a_{16})=\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{3}\right)(a_1+a_2+\cdots +a_{8}).$

Continuando con este razonamiento, encontramos que la suma vale

$\left (1+\frac{1}{2}\right ) \left (1+\frac{1}{3}\right ) \left(1+\frac{1}{4}\right )\left (1+\frac{1}{5}\right )\left(1+\frac{1}{6}\right )= \frac{3}{2}\times \frac{4}{3}\times \frac{5}{4}\times \frac{6}{5}\times \frac{7}{6}=\frac{7}{2}.$

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2017 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos: Ian Stewart.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Artículo original editado por Ana Rechtman

Comparte este artículo

Para citar este artículo:

— «Junio 2017, tercer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada - ARTEMAVETISYAN/SHUTTERSTOCK

Comentario sobre el artículo

Dejar un comentario

Foro sólo para inscritos

Para participar en este foro, debe registrarte previamente. Gracias por indicar a continuación el identificador personal que se le ha suministrado. Si no está inscrito/a, debe inscribirse.

Conexióninscribirse¿contraseña olvidada?

La traducción del sitio del francés al castellano se realiza gracias al apoyo de diversas instituciones de matemáticas de América Latina.