Enunciado

La respuesta es : $7$ sucesiones.

Observemos que si la suma se hace sobre una cantidad impar de términos, como por ejemplo $105=34+35+36$, el término central corresponde al promedio entre todos los términos : $\frac{34+35+36}{3}=\frac{105}{3}=35$. Esto quiere decir que $105$ dividido por el número de términos de la sucesión es un entero. Buscaremos ahora los divisores positivos de $105$. Como la descomposición en factores primos de $105$ es $105=3\times 5\times 7$, los divisores de $105$ son $1, 3, 5, 7, 15, 21, 35$ y $105$ (todos impares). Eliminamos el $1$ ya que el enunciado nos pide que la sucesión tenga al menos dos términos. Por otra parte, si tenemos $15$ términos en la suma, el término central es $\frac{105}{15}= 7$, luego, los números consecutivos que debemos sumar son $0, 1, 2, \ldots , 14$. Pero estos números nos son todos positivos : debemos eliminar entonces el caso en el que la suma tiene $15$ términos. Del mismo modo, eliminamos los casos en el que la suma tiene $21, 35$ o $105$ términos. Por lo tanto, podemos tener únicamente $3, 5$ o $7$ términos en la suma.

Por otra parte, si la suma se hace sobre un número par de términos, como por ejemplo $52+53=105$, vemos que el promedio de todos los términos está exactamente entre los dos términos centrales de la sucesión. Si la sucesión tiene $2n$ términos para un $n$ entero, entonces $\frac{105}{n}$ debe ser un número entero, es decir, que $n$ debe ser un divisor de $105$.
Podemos tener entonces $2, 6, 10, 14, 30, 42, 70$ o $210$ términos. Pero, como queremos solo enteros positivos, debemos eliminar todas las sucesiones que tengan más de $14$ elementos.

Por lo tanto, hay un total de siete maneras de escribir $105$ como suma de números enteros positivos consecutivos.

(« nombre » = número, « moyenne »= promedio, « somme » = suma).