Un desafío por semana

Junio 2018, primer desafío

Le 1er juin 2018  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 1er juin 2018
Article original : Juin 2018, 1er défi Voir les commentaires
Lire l'article en  

Les proponemos un desafío del calendario matemático cada viernes, y su solución a la semana siguiente. No habrá edición del calendario 2018 en papel, ¡tendremos que esperar para la edición 2019 !

Semana 22 :

El valor absoluto de un número $x$ se denota como $|x|$. Por ejemplo, $|5|=|-5|=5$.
¿Cuántos números reales $x$ satisfacen la ecuación
$|||||x-1|-2|-3|-4|-5|=0?$

Solución del cuarto desafío de mayo :

Enunciado

La respuesta es : $1968$

La descomposición en factores primos de $440$ es $2^3\cdot 5\cdot 11$, de donde $abc=2^3\cdot 5\cdot 11$. Por lo que $11$ divide a $a$, $b$ o $c$. Supongamos, sin pérdida de generalidad, que $11$ divide a $a$. En este caso, tenemos $a=11k$, para algún entero $k$.

Si $|k|>1$, entonces $a^2=(11k)^2\ge (11\cdot 2)^2 = 22^2 = 484 > 210$,
lo cual es imposible, ya que $a^2+b^2+c^2=210$. Luego $a=11$ o $a=-11$.

Reemplazando el valor de $a$ en la primera y tercera ecuación, obtenemos $b^2+c^2=89$ y $|bc|=40=8\cdot 5$. Notemos que $5$ divide a $b$ o $c$. Supongamos que divide a $b$. Tenemos entonces $b=5q$, para algún entero $q$.

Si $|q|>1$, tenemos $b^2=(5q)^2\ge (5\cdot 2)^2 = 10^2 = 100 > 89 $, lo cual no es posible ya que $b^2+c^2=89$, de donde $b=5$ o $b=-5$.

Una vez más, al reemplazar el valor de $b$ en la primera ecuación, obtenemos $c^2=64$, lo que significa que $c$ es igual a $8$ o $-8$.

Como la mayor suma de los valores obtenidos es $24$ y esto coincide con la suma obtenida en la segunda ecuación, concluimos que ninguno de los valores de $a$, $b$ o $c$ es negativo. Luego, las posibles soluciones son : $(5,8,11)$, $(5,11,8)$, $(8,5,11)$, $(8,11,5)$, $(11,5,8)$ y $(11,8,5)$, y en los seis casos, tenemos
\[ a^3+b^3+c^3=11^3+8^3+5^3=1968. \]

Solución alternativa : tenemos
\[(a+b+c)^3 = (a^3+b^3+c^3)+3(a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b)+6abc,\]
y
\[ (a^2+b^2+c^2)(a+b+c) = (a^3+b^3+c^3) + (a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b).\]
Restándole tres veces la tercera ecuación a la primera, obtenemos
\[(a+b+c)^3 - 3(a^2+b^2+c^2)(a+b+c) = -2(a^3+b^3+c^3)+6abc,\]
de donde
\[ \begin{eqnarray*} a^3+b^3+c^3 &=& (6abc -(a+b+c)^3 +3(a^2+b^2+c^2)(a+b+c))/2\\ &=& (6\times440-24^3+3\times210\times24)/2\\ &=& 1968. \end{eqnarray*} \]

Partager cet article

Pour citer cet article :

— «Junio 2018, primer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

Commentaire sur l'article

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?