Enunciado

La respuesta es : $1968$

La descomposición en factores primos de $440$ es $2^3\cdot 5\cdot 11$, de donde $abc=2^3\cdot 5\cdot 11$. Por lo que $11$ divide a $a$, $b$ o $c$. Supongamos, sin pérdida de generalidad, que $11$ divide a $a$. En este caso, tenemos $a=11k$, para algún entero $k$.

Si $|k|>1$, entonces $a^2=(11k)^2\ge (11\cdot 2)^2 = 22^2 = 484 > 210$,
lo cual es imposible, ya que $a^2+b^2+c^2=210$. Luego $a=11$ o $a=-11$.

Reemplazando el valor de $a$ en la primera y tercera ecuación, obtenemos $b^2+c^2=89$ y $|bc|=40=8\cdot 5$. Notemos que $5$ divide a $b$ o $c$. Supongamos que divide a $b$. Tenemos entonces $b=5q$, para algún entero $q$.

Si $|q|>1$, tenemos $b^2=(5q)^2\ge (5\cdot 2)^2 = 10^2 = 100 > 89 $, lo cual no es posible ya que $b^2+c^2=89$, de donde $b=5$ o $b=-5$.

Una vez más, al reemplazar el valor de $b$ en la primera ecuación, obtenemos $c^2=64$, lo que significa que $c$ es igual a $8$ o $-8$.

Como la mayor suma de los valores obtenidos es $24$ y esto coincide con la suma obtenida en la segunda ecuación, concluimos que ninguno de los valores de $a$, $b$ o $c$ es negativo. Luego, las posibles soluciones son : $(5,8,11)$, $(5,11,8)$, $(8,5,11)$, $(8,11,5)$, $(11,5,8)$ y $(11,8,5)$, y en los seis casos, tenemos
\[ a^3+b^3+c^3=11^3+8^3+5^3=1968. \]

Solución alternativa : tenemos
\[(a+b+c)^3 = (a^3+b^3+c^3)+3(a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b)+6abc,\]
y
\[ (a^2+b^2+c^2)(a+b+c) = (a^3+b^3+c^3) + (a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b).\]
Restándole tres veces la tercera ecuación a la primera, obtenemos
\[(a+b+c)^3 - 3(a^2+b^2+c^2)(a+b+c) = -2(a^3+b^3+c^3)+6abc,\]
de donde
\[ \begin{eqnarray*} a^3+b^3+c^3 &=& (6abc -(a+b+c)^3 +3(a^2+b^2+c^2)(a+b+c))/2\\ &=& (6\times440-24^3+3\times210\times24)/2\\ &=& 1968. \end{eqnarray*} \]