Un desafío por semana

Junio 2018, tercer desafío

Le 15 juin 2018  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 15 juin 2018
Article original : Juin 2018, 3e défi Voir les commentaires
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Les proponemos un desafío del calendario matemático cada viernes, y su solución a la semana siguiente. No habrá edición del calendario 2018 en papel, ¡tendremos que esperar para la edición 2019 !

Semana 24 :

¿Cuántas sucesiones de enteros positivos consecutivos, con al menos $2$ términos, tienen una suma igual a $105$ ?

Solución del segundo desafío de junio :

Enunciado

La respuesta es : $32\,cm^2$

Observemos que los triángulos $BXY$ y $BMN$ son congruentes pues $XB=BM$, $YB=BN$ y los ángulos $\angle XBY$ y $\angle MBN$ son iguales. Luego $\angle YXB = \angle BMN$.

Luego $XY$ es paralelo a $MN$, y como $XY=MN=NA=CM$ los cuadriláteros $XYNA$ y $XYCM$ son paralelogramos.

Llamemos $x$ al largo de $MC$ y $h$ a la altura del triángulo $ABC$ que cae sobre la hipotenusa $CA$. Sabemos que $\frac{3xh}{2}=12\, cm^2$ es el área del triángulo $ABC$. Sea $(YCA)$ el área del triángulo $YCA$.
Como $B$ es el punto medio de $YN$, la altura del triángulo $YCA$ que cae sobre $CA$ mide $2h$. Luego,
\[ (YCA)=\frac{3x\times 2h}{2}=3xh=24\, cm^2. \]
Por otra parte, como $XY=CM=x$ y $XY$ es paralelo a $CA$, obtenemos que
\[ (XYA)=\frac{XY\times 2h}{2}=xh=\frac{24}{3}=8\, cm^2. \]
Por lo tanto, el área de $XYCA$ es igual a $8+24=32\, cm^2$.

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Pour citer cet article :

— «Junio 2018, tercer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

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