Un desafío por semana

Junio 2019, segundo desafío

Le 14 juin 2019  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 14 juin 2019
Article original : Juin 2019, 2e défi Voir les commentaires
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Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente. ¡El calendario 2019 está en librerías (en Francia) !

Semana 24

Siguiendo el camino indicado, ¿cuál sería la posición del número $2019$ ? Las columnas se enumeran de izquierda a derecha, y las líneas de arriba a abajo.

Solución del primer desafío de junio :

Enunciado

La solución es $2401$ personas.

Sean $a$, $b$ y $c$ enteros no negativos tales que $a^2$ es la población inicial de la ciudad, $b^2 + 1$ la población luego del primer incremento de $100$ personas, y finalmente $c^2$ la población después del segundo incremento. Entonces tenemos que
\[ a^2 + 100 = b^2 + 1\qquad\text{y} \qquad b^2 + 101 = c^2. \]

Así pues, $c^2 - a^2 = 200$, o bien, $(c-a)(c+a) = 200$.

Puesto que la descomposición de $200$ en factores primos es $200 = 2^3 \times 5^2$, considerando los divisores de $200$ y tomando en cuenta el hecho de que $c+a\geq c-a > 0$, se tienen las siguientes posibilidades :
$$ \begin{array}{llcl} c+a = 200, & c-a = 1 & \Longrightarrow & \text{$c$ no es entero;}\\ c+a = 100, & c-a = 2 & \Longrightarrow & \text{$c = 51$ y a = 49;}\\ c+a = 50, & c-a = 4 & \Longrightarrow & \text{$c = 27$ y $a = 23$;}\\ c+a = 40, & c-a = 5 & \Longrightarrow & \text{$c$ no es entero;}\\ c+a = 25, & c-a = 8 & \Longrightarrow & \text{$c$ no es entero;}\\ c+a = 20, & c-a = 10 & \Longrightarrow & \text{$c =15$ y $a = 5$.} \end{array} $$ Analicemos los diferentes casos posibles: en el primer, cuarto y quinto caso $c$ no es un entero, y podemos pues descartarlos de inmediato. En el segundo caso, se cumplen las ecuaciones \[ 49^2 + 100 = 50^2 + 1 \qquad \text{y} \qquad 50^2 + 101 = 51^2. \] En el tercer caso, $23^2 + 100 - 1 = 628 = 2^2\times 157$ no es un cuadrado perfecto, y del mismo modo, en el último caso $25 + 100 - 1 = 124 = 2^2\times 31$ tampoco es un cuadrado perfecto. Por lo tanto, la población original de la ciudad era de $49^2 = 2401$ personas.

Post-scriptum :

Calendario matemático 2019 (versión en español) - Bajo la dirección de Anne Alberro y Radmila Bulajich - 2018, Googol S.A. de C.V. Todos los derechos reservados.

Calendario matemático 2019 (versión francesa) - Bajo la dirección de Ana Rechtman, con la contribución de Nicolas Hussenot - Textos : Claire Coiffard-Marre y Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Todos los derechos reservados.

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Pour citer cet article :

— «Junio 2019, segundo desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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