Enunciado

Puesto que $x_1, x_2, x_3$ y $x_4$ son las raíces del polinomio $x^4 - 2x^3 - 7x^2 - 2x + 1$, tenemos que
\[ x^4 - 2x^3 - 7x^2 - 2x + 1 = (x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)(x - x_4). \]

Desarrollando el término derecho de esta igualdad e identificando los coeficientes deducimos que $x_1 x_2 x_3 x_4 = 1$ y que $x_1 x_2 x_3 + x_1 x_2 x_4 + x_1 x_3 x_4 + x_2 x_3 x_4 = -(-2) = 2$.

Por otro lado,
\[ \frac{1}{x_1} +\frac{1}{x_2} +\frac{1}{x_3} +\frac{1}{x_4} = \frac{x_1 x_2 x_3 + x_1 x_2 x_4 + x_1 x_3 x_4 + x_2 x_3 x_4}{x_1 x_2 x_3 x_4}, \]
así que
\[ \frac{1}{x_1} +\frac{1}{x_2} +\frac{1}{x_3} +\frac{1}{x_4} = \frac{2}{1} = 2. \]