Enunciado

Podemos comenzar por factorizar la expresión :
\[ 10^{2021} - 2\times4^{1010} = 2^{2021}\times 5^{2021} - 2\times(2^2)^{1010} = 2^{2021}\times (5^{2021} - 1). \]

Ahora bien, a partir de $5^3 = 125$, las potencias impares de $5$ se terminan en $125$, y todas las pares en $625$. Esto lo verificamos fácilmente observando que los últimos tres dígitos de $5^{n+1} = 5^n\times 5$ son los mismos que los tres últimos del producto de $5$ con las tres últimas cifras de $5^n$ ; ahora bien, $125\times 5 = 625$ y $625\times 5 = 3125$, cuyos tres últimos dígitos son $125$.

De aquí deducimos que los tres últimos dígitos de $5^{2021} - 1$ son $124$. Este número se escribe entonces como $1000 k + 124$, para un entero $k$. Siendo $1000$ y $124$ ambos divisibles por $4$, también lo será $1000 k + 124$. Sin embargo, $1000$ es divisible por $8$ pero no por $124$, así que $1000 k + 124$ no puede ser dividido por $8$. Resulta entonces que la potencia más grande de $2$ dividiendo $10^{2021} - 2\times 4^{1010}$ es $2^{2021} \times 4 = 2^{2023}$.