Kaleidoscope

Piste bleue 5 avril 2016  - Ecrit par  Serge Cantat Voir les commentaires (1)

Le kaléidoscope est un tube formé d’un agencement de miroirs qui contient des fragments de verre colorés, mobiles, aux formes variées. À chaque secousse, il offre une figure différente [1]. Sa conception repose sur deux principes : les propriétés de réflection de la lumière et les lois de composition des symétries.

Un miroir

Un rayon lumineux qui vient heurter un miroir est réfléchi ; les angles que forme le miroir avec le rayon incident et le rayon réfléchi sont égaux.
Lorsqu’on scrute un miroir, les objets observés se situent alors dans une zone qui dépend de la taille du miroir et de l’angle d’observation. C’est un phénomène bien connu des conducteurs, qui se méfient de l’angle mort dans leur rétroviseur.

Ce n’est pas une copie conforme de soi-même qui s’offre à nous dans un miroir ; la gauche et la droite ont été inversées :
si l’on se gratte l’oreille droite, l’image se gratte l’oreille gauche. En outre, le reflet parait relativement éloigné, la distance apparente étant égale au double de notre distance au miroir. Tout ceci illustre au quotidien des propriétés de base de la symétrie plane, car notre reflet apparait en effet transformé par une telle symétrie orthogonale. La figure suivante résume les propriétés principales de cette transformation ; le dessin y est une « vue de dessus » et correspond donc à la symétrie par rapport à une droite du plan.

Ainsi, le miroir renvoie une image symétrique des objets qui s’y reflètent, comme s’ils étaient situés au-delà du plan du miroir, les distances étant préservées, mais les positions relatives étant inversées. Tout se passe comme si le miroir était une fenêtre et l’observateur était situé à l’extérieur, derrière cette fenêtre, et scrutait la pièce dans laquelle il se trouvait initialement (avec en plus cet inversement gauche/droite)

Deux miroirs parallèles

Lorsque deux miroirs se font face, chacun renvoie l’image de l’autre. Un objet situé entre eux étant reflété dans le premier miroir, le second miroir reçoit deux images : celle de l’objet, et celle de l’objet reflété dans le premier miroir.
Ces deux images sont alors reflétées à leur tour par le second miroir, et ainsi de suite, si bien qu’en fait les miroirs créent à eux deux une infinité de copies de l’objet initial. Bien sûr, les copies paraissent de plus en plus petites car à chaque réflection la distance apparente est doublée. Vue de dessus, on peut représenter les copies de l’objet observé en prenant garde à leurs orientations et distances respectives :

Images successives avec deux miroirs face à face

Du point de vue mathématique, lorsque l’on compose deux réflections par rapport à des plans parallèles, le résultat obtenu est une translation dont la direction est orthogonale aux plans et la longueur est le double de la distance $D$ entre ces plans. Un objet situé entre les miroirs apparait alors identique à lui même, mais translaté à une distance $2D$, puis $4D$, $6D$, etc. À ces copies s’ajoutent des copies symétriques, qui sont situées à distance $D$, $3D$, $5D$, etc, lorsque l’objet est à égale distance des deux miroirs. Et ceci apparait dans chacun des deux miroirs.

Deux miroirs accolés

Imaginez maintenant deux miroirs accolés dans l’angle d’une pièce, un sur chaque mur. Ils forment entre-eux un angle droit. En les regardant, votre portrait apparaît dans chacun d’entre-eux. Mais l’image reflétée par le miroir de gauche l’est à nouveau par celui de droite, et vice-versa. Ce sont donc en fait quatre copies qui apparaissent.
Si les deux miroirs faisaient un angle de soixante degrés (ou $\pi/3$), nous aurions six copies, comme sur les figures suivantes.

Du point de vue mathématique, lorsque l’on compose deux symétries par rapport à des plans sécants, le résultat obtenu est une rotation autour de la droite d’intersection des plans et dont l’angle est le double de l’angle $A$ entre ces plans. Un objet situé entre les miroirs apparait alors identique à lui même, mais tourné d’un angle $2A$, puis $4A$, $6A$, etc. À ces copies s’ajoutent des copies symétriques ; elles sont obtenues en effectuant une première symétrie plane, puis ensuite en effectuant à nouveau des rotations d’angle $2A$, $4A$, etc. Pour deux plans qui se coupent à angle droit, la rotation est d’un demi-tour, et l’on observe quatre copies de l’objet, dont deux « retournées » par symétrie. Elle est d’un tiers de tour pour des droites qui forment un angle de soixante degrés, et l’on observe alors six copies. [2]

Trois miroirs : le kaléidoscope classique

Le fonctionnement du kaléidoscope repose sur le même principe, mais avec plus de miroirs. Accolez trois miroirs rectangulaires le long de leurs bords pour obtenir un tube
à section triangulaire, en forme de prisme. Nous supposerons ici que les miroirs sont identiques et que la section est un triangle équilatéral ; les angles aux sommets valent donc tous un sixième de tour ($\pi/3$, ou $60^o$).

Plaçons un objet au centre, entre les miroirs. Les trois miroirs engendrent à nouveau une infinité de copies de l’objet ; le dessin suivant, « vue de dessus », décrit leur agencement.

Si vous êtes dans une pièce triangulaire dont les murs sont tapissés de miroirs, vous observez alors une infinité de copies de la pièce : assis au milieu de la figure précédente, alors face à vous apparaissent une multitude de copies des objets vert et rose. Le principe du kaléidoscope est identique, à ceci près que l’on ne s’assied pas dans une pièce et qu’il y a plus de verroterie :

Au-delà de trois miroirs : pentagones, hexagones, etc

Si votre kaléidoscope est pentagonal, avec cinq miroirs identiques sur ses faces, la figure parait plus chaotique. C’est que l’angle formé par deux faces consécutives est égal à trois dixièmes de tour. L’image suivante, due à Julia Dessirier, illustre ce phénomène.

On y voit que les kaléidoscopes à base équilatérale ou hexagonale (régulière) proposent une image symétrique, la photographie étant « pavée » (ou « carrelée ») par des copies du triangle ou de l’hexagone central, chacun reflétant une partie de l’immeuble observé [3]. Ce n’est pas le cas avec une base pentagonale. Ceci est lié au fait que le plan ne peut être pavé par des pentagones réguliers ; parmi les polygones réguliers, seuls les triangles, les carrés et les hexagones
permettent de paver le plan (voir par exemple cet article).

La géométrie des kaléidoscopes est ainsi reliée, en germes, à celle des pavages du plan.
En géométrie hyperbolique, d’autres pavages sont possibles, par exemples avec des octogones, comme sur la figure suivante (voir aussi ici). Dans cette géométrie, les distances ne sont pas les distances usuelles. Ainsi, les côtés des octogones ont-ils tous la même « longueur hyperbolique » sur cette figure, même si certains nous paraissent plus petits : c’est juste que la carte du monde hyperbolique qui est utilisée pour représenter ce pavage déforme les distances (de même que les planisphères déforment les distances du globe terrestre).

L’étude des pavages dépend donc de la géométrie envisagée, et la notion de géométrie peut à son tour être modifiée : dans son sens premier, la géométrie permet de mesurer des distances, de comparer des formes. Oublions ces distances, et ne retenons d’un kaléidoscope que les symétries associées à ses faces ; en composant indéfiniment ces symétries entre elles, nous obtenons tout un groupe de transformations du plan (ou de l’espace). D’autres groupes de transformations ne préservant pas les distances peuvent fournir d’élégants découpages du plan, ou de l’espace, et comprendre l’interaction entre pavages, groupes de transformations et géométries est un sujet d’actualité ... depuis bien longtemps maintenant.

Post-scriptum :

L’auteur et la rédaction d’Images des Mathématiques remercient les relecteurs
Clément Caubel et Abel Lacabanne pour leur lecture attentive et leurs remarques judicieuses.

Article édité par Serge Cantat

Notes

[1Son étymologie provient du grec : « de belles formes à observer » (voir ici).

[2Si les deux droites forment un angle irrationnel (compté en degrés), les deux symétries planes engendrent donc une rotation d’angle irrationnel. Pour deux miroirs formant un tel angle, les objets se reflètent alors une infinité de fois.

[3Dans cette image, le kaléidoscope hexagonal n’est pas parfaitement symétrique.

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Pour citer cet article :

Serge Cantat — «Kaleidoscope» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

Commentaire sur l'article

  • Kaleidoscope

    le 6 avril à 00:20, par marielauretrotel

    D’abord un grand merci à votre présentation claire comme de l’eau de roche
    cet article ma interpeler car depuis toute petite je suis et encore maintenant très attirée par les kaleidoscopes
    jai compris grâce à vs son fonctionnement
    cest juste genial
    ma remarque est la suivante :
    les photos dessins vus de haut successifs égrenant votre démonstration ma immédiatement fait penser au phénomène de la MEIOSE car en effet le schéma de représentation classique du déroulement de la meiose (c’est à dire la multiplication des cellules à partir dun centre ) est exactement le meme
    dou ma question :
    es ce lieé ?
    es ce la même chose ? Multiplication mathématique même phénomène dans la roue de la vie (schéma des alvéoles de ruches d abeilles, cœur d’un tournesol etc) ?
    et si on secoue un kaléidoscope à l’infini : cela donne t’il une infini de possibilité d’image formées finales ? C’est à dire comme des empreintes digitales donc unique en soi ce qui génétiquement méiose = kaléidoscope ?
    Ça serait énorme...il y’a des « jumeaux » dans le kaléidoscope ? Es ce que 2 combinaisons identiques peuvent revenir en secouant le kaléidoscope au hazard ?
    Mr Villani peut il m’éclairer ?

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