L’anagyre

Un objet curieux...

Piste bleue Le 4 septembre 2009  - Ecrit par  Lanouar Lazrag, Alexei Tsygvintsev Voir les commentaires

L’anagyre [1] est un objet amusant facile à bricoler soi-même.

Mais d’abord, un peu d’étymologie :

ANA : du grec ana (vers le haut, en arrière, de nouveau) (ex : anatomie), contraire de cata-.

GYRE : Du grec guros, « cercle, rotation ».

Bref, un anagyre est un truc qui tourne bizarrement. En anglais, un anagyre s’appelle « Rattleback ».

Il suffit de prendre un objet qui a la forme d’un cigare coupé en deux dans le sens de la longueur et de placer un bâton métallique sur la surface plate pour éliminer la symétrie géométrique. On peut aussi cacher cette asymétrie en répartissant les masses à l’intérieur de manière non homogène.

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Fig1. Anagyre
ou la pierre celtique mystérieuse

Une géométrie et un comportement très particuliers !

L’anagyre possède une géométrie très particulière ce qui fait qu’il se comporte bizarrement pendant la rotation. Faites-le tourner dans le sens des aiguilles d’une montre et il se comportera comme une toupie normale ; après quelques instants, à cause des frottements et de la dissipation d’énergie qui en résulte, il s’arrête tranquillement. Par contre, si on le fait tourner dans l’autre sens, après quelques instants, il commence à se balancer verticalement, puis à repartir en arrière comme on le voit sur cette vidéo.

Comment cela fonctionne-t-il ?

Rassurez-vous, il n’y a aucune contradiction avec les lois de la mécanique classique ! L’analyse qualitative du comportement des anagyres a été établie dès 1896, mais l’analyse quantitative est plus délicate : elle nécessite de prendre en compte le glissement et la dissipation par les frottements.

Pour modéliser le mouvement de l’anagyre, il faut d’abord fixer sa position dans l’espace. Pour cela, il faut préciser trois nombres : partant de l’anagyre dans une position initiale, on le fait tourner successivement autour de trois axes de coordonnées pour l’amener dans la position étudiée. Chaque position est donc décrite par trois angles, qu’on appelle souvent les angles d’Euler.

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Ensuite, il faut préciser à quelle vitesse l’anagyre est en train de tourner. Pour cela, il faut donner les vitesses de variation des trois angles d’Euler : ce sont trois « vitesses angulaires ».

L’ensemble de ces six nombres — angles et vitesses angulaires — forme ce qu’on appelle l’espace des phases du système, qui est donc de dimension 6.

A chaque mouvement de l’anagyre nous pouvons associer une courbe dans cet espace de phase qui décrit la trajectoire suivie.

Les trajectoires sont les solutions d’un système de six « équations différentielles ». Écrire l’équation qui régit le mouvement d’un système mécanique n’est bien souvent pas trop difficile mais c’est lorsqu’il s’agit d’en « trouver les solutions » que le problème se complique... C’est le cas ici : on obtient une équation non linéaire si compliquée qu’il n’y a pas d’espoir de la résoudre « explicitement ».
Néanmoins, en observant attentivement ces équations nous constatons qu’elles possèdent deux solutions particulières très simples.
Vous pouvez deviner qu’il s’agit des deux rotations que nous avons déjà décrites : celle qui tourne uniformément dans un sens et celle qui tourne dans l’autre sens.

L’analyse des équations du mouvement montre que la première solution est stable (attractive) alors que la seconde est instable.
Cela signifie que si on lance l’anagyre dans une position proche de cette trajectoire stable, l’anagyre va avoir tendance à s’en approcher,
alors que le contraire se produit pour l’autre trajectoire.

On peut expliquer le comportement de l’anagyre autrement

La façon dont un solide réagit à des forces dépend de la manière dont sa masse est répartie. En mécanique, cela est décrit par trois axes orthogonaux qu’on appelle les « axes principaux d’inertie » attachés à n’importe quel solide.
A chaque axe principal d’inertie est associé un nombre — son moment d’inertie — qui indique la difficulté à faire tourner le solide autour de cet axe.
L’asymétrie de l’anagyre implique que ses axes d’inertie ne sont pas confondus avec ses axes géométriques, qui ne sont liés qu’à sa forme. On constate aussi que les deux axes principaux (a) et (b) présentent des moments d’inertie très différents. Le moment d’inertie selon l’axe (b) est beaucoup plus élevé que celui suivant l’axe (a), car les masses se trouvent assez loin de l’axe (voir la figure 2).

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Fig2.
Voir page Anagyre

On voit bien la différence entre l’axe géométrique et l’axe d’inertie.

En général, les forces de frottement ralentissement un mouvement jusqu’à le stopper. Dans le cas de l’anagyre, en raison de la répartition des masses, toute perturbation qui engendre une oscillation autour de l’axe (b) sera rapidement amplifiée et les forces de frottement qui agissent sur l’anagyre durant l’oscillation arrêtent la rotation et en déclenchent une autre en sens contraire. Lorsque ce changement de sens est amorcé, les forces de frottement tendent à empêcher l’oscillation. Ainsi, une rotation dans un sens initial permet aux oscillations autour de l’axe (b) de s’amplifier rapidement. Ensuite, les forces de frottement qui accompagnent ces oscillations inversent le sens de rotation.

Problèmes ouverts

Il reste beaucoup de questions ouvertes dans le problème de l’anagyre.
Nous croyons que l’anagyre est chaotique c’est-à-dire que les plupart de ses solutions sont extrêmement compliquées et imprévisibles pour l’essentiel. Pour plus d’informations sur ce concept de mouvement chaotique, on peut consulter cet article de Images des Mathématiques.

Dans notre article [1] nous montrons que les équations de l’anagyre ne possèdent pas de solution
simple de point du vue analytique c’est-à-dire qu’il n’y a pas de solution de l’équation du mouvement qu’on puisse exprimer avec des formules qui mettent en jeu des fonctions élémentaires.

Pour en savoir plus.

Pour en savoir un petit peu plus  :


Un peu plus :

  • J. Simeray, L’anagyre, Pour la Science, Janvier 1999.
  • J. Walker, Expérience d’amateur, Pour la Science, Décembre
    1979.


Beaucoup plus :

  • [1] H. Dullin, A. Tsygvintsev, On the analytic non-integrability of the Rattleback problem, Annales de la faculté des sciences de Toulouse, Vol. XVII,n. 3, pp. 495-517, 2008.
  • [2] A. Garcia, M. Hubbard Spin reversal of the rattleback : theory and experiment. Proceedings of the Royal Society of London A 418, 165-197, 1988.

L’article de Wikipedia en anglais sur le Rattleback ne contient pas beaucoup d’informations mais une riche bibliographie.

Si vous voulez acheter un anagyre en plastique ou en bois.

Une démonstration publique du fonctionnement de l’anagyre, par le physicien britannique Keith Moffatt (filmé par Emmanuel Ferrand).

Notes

[1Ne pas confondre avec son homonyme dont le Trésor de la langue française donne la définition suivante : BOT. Plante vénéneuse de la famille des légumineuses dont les feuilles dégagent une odeur fétide. Anagyre fétide, synon. bois puant.

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Pour citer cet article :

Lanouar Lazrag, Alexei Tsygvintsev — «L’anagyre» — Images des Mathématiques, CNRS, 2009

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