L’analyse multifractale des signaux

Le 15 octobre 2004  - Ecrit par  Stéphane Jaffard, Alain Arneodo Voir les commentaires (1)

L’analyse multifractale, née dans les années 80 pour expliquer les observations effectuées sur des signaux de
turbulence, a fourni de nouveaux outils pour l’analyse et la modélisation de signaux issus de multiples domaines
scientifiques. En mathématiques, elle a servi de cadre unificateur pour reconsidérer de nombreuses fonctions introduites au
cours des 19e et 20e siècles. De nouvelles synergies sont ainsi apparues entre mathématiciens, physiciens et
analystes du signal.

Au milieux des années 80, les premiers enregistrements très précis de la vitesse d’un écoulement turbulent tels que ceux obtenus
dans la soufflerie de Modane (travaux de Gagne, Hopfinger et leurs collaborateurs) ont confirmé la très
grande complexité de ces données expérimentales. Les mathématiciens ont l’habitude de considérer des
fonctions partout irrégulières ; c’est le cas des fonctions de Weierstrass
[ W_a,b (x) = \displaystyle\sum_n=1^\infty a^n \sin (b^n x) ] qui sont continues, mais nulle part dérivables si $0 Il en est de même pour le mouvement brownien. De telles fonctions présentent cependant une certaine forme de régularité :
leur irrégularité est en fait partout la même. La théorie de la turbulence homogène et isotrope
développée par Kolmogorov en 1941 se situe dans un tel contexte. Toutefois, les expériences récentes
révèlent des déviations systématiques par rapport aux prédictions de cette théorie. Les signaux de vitesse
turbulente semblent très irrégulièrs dans certaines régions et beaucoup moins dans d’autres, sans que l’on
puisse clairement assigner de frontières
à ces régions : au sein d’une zone plutôt régulière on voit des zones d’irrégularité et réciproquement, ce mélange
apparaissant
à toutes les
échelles. Cette complexité « multi-échelle » fait incontestablement penser aux fractals. L’analyse multifractale est apparue
en physique pour comprendre et analyser des fonctions aussi complexes et pour introduire de nouveaux paramètres
quantitatifs permettant leur classification. En fait, c’est dans les différents modèles de cascade d’énergie
proposés par Mandelbrot en turbulence pleinement développée que l’on trouve les prémices de
l’analyse multifractale, formalisée en 1985 par Parisi et Frisch dans leur étude des données
expérimentales. Parallèlement, Kadanoff et ses collaborateurs à l’université de Chicago ont jeté les bases
de cette approche dans le cadre des mesures invariantes de systèmes dynamiques. Une fois les outils conceptuels et
numériques mis en place, cette analyse s’est révélée pertinente dans d’autres domaines des sciences
fondamentales et appliquées ; c’est le cas pour les diverses manifestations de la turbulence en hydrodynamique,
chimie, optique ; mais il existe bien d’autres domaines où l’on observe des structurations dynamiques spatiales, voir
spatio-temporelles complexes, très irrégulières relevant des concepts de fractals, ou de multifractals, en
physique, géophysique, astrophysique, météorologie, chimie, ou encore biologie, écologie,
économie, analyse et synthèse d’image, télécommunications,... Parallèlement à l’énergie déployée pour mettre en
application cette nouvelle approche, les mathématiciens, eux, construisaient et analysaient de nombreux modèles de fonctions
multifractales et, surtout,
étudiaient la validité des méthodes numériques mises en œuvre pour caractériser les paramètres qui leur sont associés.
Nous exposerons ces méthodes, nommées « formalisme multifractal », et nous donnerons un aperçu des résultats mathématiques
que l’on peut obtenir. Nous illustrons notre propos de quelques applications concernant l’analyse des séquences d’ADN,
de signaux de vitesse turbulents, de séries financières et d’images satellite de la structure des nuages.

Qu’est-ce que l’analyse multifractale ?

L’analyse multifractale a pour but l’étude de fonctions dont la régularié ponctuelle peut varier d’un point à
un autre. Les premiers outils pour mesurer la régularité sont familiers à tous : continuité, dérivabilité en un point.
L’exposant de Hölder introduit un continuum entre ces notions et permet de repérer précisément la régularité grâce à un
paramètre réel positif : une fonction $f$ est $C^\alpha (x_0)$ s’il existe un polynôme $P$ de degré au plus $ [ \alpha ]$ tel
que
[ | f(x) - P(x-x_0)| \leq C | x-x_0|^\alpha .]
L’exposant de Hölder de $f$ en $x_0$ est alors
[ H_f (x_0) = \sup { \alpha : ~; f ~; \mbox est ~; C^\alpha (x_0) } . ]
On a vu que l’on s’attend à ce que les ensembles « isohölder »
[ A_h = { x : ~; H_f (x) = h } ]
soient des fractals. Si tel est le cas, le paramètre naturel à déterminer est leur dimension de Hausdorff (encadré 1).
Finalement, on cherchera donc à calculer la fonction
[ D (h) = dim (A_h) ]
appelée spectre de singularités de $f$. Réaliser l’analyse multifractale d’une fonction $f$, c’est déterminer son spectre
de singularités. Avant de décrire comment calculer numériquement le spectre de signaux expérimentaux, mentionnons quelques
fonctions mathématiques multifractales.

La dimension de Hausdorff

La notion de dimension de Hausdorff étend à des ensembles fractals
(dont la dimension pourra être non-entière), la notion naturelle de
dimension pour les courbes et surfaces régulières. Soit $A$ un sous-ensemble
borné de $\rm I\kern-2pt R^d$. Une famille $R = \{ B_i \}_{i\in \rm I\kern-2pt N}$
d’ensembles $B_i \subset \rm I\kern-2pt R^d$ est un $\varepsilon$-recou- vrement de $A$ si
$A \subset \displaystyle\bigcup B_i $ et $\forall i$, $ diam (B_i) \leq \varepsilon$.
On note alors $ M_\varepsilon^\delta = \displaystyle\inf_{ R = \{ B_i \}} \sum \left( diam (B_i )\right)^\delta $,
où l’inf est pris sur tous les
$\varepsilon$-recouvrements. La dimension de Hausdorff de $A$ est alors
$ dim (A) = \sup \{ \delta : \; \displaystyle\lim_{ \varepsilon \rightarrow 0} M_\varepsilon^\delta = + \infty \}$
On vérifie aisément que, suivant cette définition, la dimension
d’une courbe régulière est 1, d’une surface régulière est 2,
mais on peut ainsi obtenir des dimensions non-entières. Ainsi l’ensemble
triadique de Cantor composé des nombres réels s’écrivant $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{\varepsilon_n}{3^n}$, avec
$\varepsilon_n \in \{ 0, 2\}$, a pour dimension $\log 2 / \log 3$.

Quelques fonctions multifractales

Bien sûr, la notion de fonction multifractale, introduite en physique au milieu des années 80, n’avait pas pu être utilisée
auparavant par les mathématiciens. Mais, comme par anticipation, de nombreuses fonctions, qui se sont ensuite avérées être
multifractales, ont
été considérées depuis le début du 19e siècle. En général, il s’agissait d’exemples (ou de
contre-exemples) ayant des propriétés particulières.

Ainsi, dès que Bolzano et Cauchy eurent, indépendamment, donné la définition mathématique précise d’une fonction continue, la
question de l’existence de fonctions continues nulle part dérivables s’est naturellement posée. Le premier exemple d’une telle
fonction a été construit par Bolzano lui-même en 1830 ; c’était une fonction en dents de scie,
auquelles on superpose des dents de scie de plus en plus petites... Il s’agit probablement de la première fonction mathématique
multifractale. Malheureusement pour Bolzano (mais, nous allons le voir, heureusement pour nous !), cet exemple est resté longtemps
ignoré et Riemann mentionnait encore ce problème en proposant comme candidat possible la série trigonométrique
[ \sum_n=1^\infty \frac\sin (\pi n^2 x)n^2 .]
On sait maintenant que cette fonction est dérivable en certains rationnels ; par contre c’est un très bel exemple de fonction
multifractale ; son spectre est la réunion du segment $D(h) = 4h -2 $ (pour $h \in [\frac{1}{2}, \frac{3}{4}] $) et du point
$(h,d)= (\frac{3}{2}, 0)$.

Riemann, de nouveau, publiait en 1854 son fameux mémoire d’habillitation dans lequel est définie « l’intégrale
de Riemann. On savait depuis Cauchy définir l’intégrale de fonctions continues par morceaux ; aussi, pour montrer
que cette nouvelle intégrale généralise effectivement l’intégrale de Cauchy, Riemann propose l’exemple de la
fonction
[ \sum_n=1^\infty \fracS (nx)n^2,]
où $S(x)$ est $x$ auquel on soustrait l’entier le plus proche de $x$. On vérife immédiatement que cette fonction est
Riemann-intégrable et a cependant un ensemble dense de discontinuités ; elle n’est donc pas « Cauchy-intégrable ». Il s’agit ici
encore d’une fonction multifractale ; son spectre de singularités est le segment $D(h) =h$ pour $h \in [0,1]$.

Mesure binomiale aléatoire

Cette mesure est construite récursivement sur l’intervalle $[0, 1]$ de la façon suivante. Soient $a \in ]0,1[$, $b =1-a$, et $p \in ]0,1[$. On tire au hasard $\mu ([ 0, 1/2]) =a$ ou $b$, avec probabilité
respectivement $p$ et $1-p$, et l’on prend $\mu ([1/2, 1]) = 1-\mu ([ 0, 1/2])$ ; une fois la mesure
d’un intervalle dyadique $\lambda$ déterminée, celle de son fils de gauche $\lambda'$ est de même tirée au
hasard et vaut
$\mu (\lambda ') = a \mu (\lambda )$ ou $(1-a) \mu (\lambda )$ avec probabilité respectivement $p$ et $1-p$ et celle de
son fils de droite sera alors $ \mu (\lambda ) -\mu (\lambda ')$. On construit ainsi par raffinements successifs une
mesure de probabilité aléatoire sur $[0,1]$ dont on peut faire l’analyse multifractale au sens suivant :
l’exposant de Hölder d’une mesure
$\mu$ en un point
$x_0$ est défini par
\[ H_\mu (x_0) = \displaystyle\liminf_{\delta \rightarrow 0} \frac{\log \mu ([x_0-\delta , x_0 + \delta])}{\log \delta}.\]
Le spectre de singularités est alors défini comme pour les fonctions. Le lien entre
mesures multifractales et fonctions multifractales apparait en dimension 1 et lorsque $h <1$ : l’exposant de
Hölder d’une mesure positive $\mu$ portée par $[0,1]$ coïncide avec l’exposant de Hölder de la fonction
$f(x) = \mu ([0,x])$.

Plusieurs autres exemples, qui s’avèreront ultérieurement être multifractals, balisent l’histoire de l’analyse au
20e siècle. Les plus importants pour nous seront les cascades multiplicatives. L’exemple le plus simple en est la mesure
binomiale, (encadré 2).
Des mesure aléatoires généralisant cette construction furent proposées par Mandelbrot en 1974 pour modéliser
l’intermittence de la dissipation d’énergie d’un écoulement turbulent. L’étude mathématique de ces mesures fût réalisée
par Kahane et Peyrière dès 1976. Ultérieurement, des modèles de cascade de plus en plus
généraux et complexes furent proposés et étudiés. Il est vraiment remarquable que ces modèles,
véritables cas d’école introduits en turbulence avant la notion de multifractal, se soient ensuite avérés être
des exemples naturels d’une théorie dont les premiers succès ont effectivement été enregistrés dans le
contexte de l’analyse de signaux en turbulence pleinement développée.

Décomposition en ondelettes

Une fonction $\psi$ (régulière et bien localisée) engendre une base orthonormée d’ondelettes si les fonctions
$ 2^{j/2} \psi (2^jx-k ) $ $ (j\in \mathbb{Z}, \; k \in \mathbb{Z})$
forment une base orthonormée de $L^2 (\mathbb{R})$.

Les coefficients d’ondelettes d’une fonction $f$ sont alors les
$ C_{j,k} = 2^j \int f(x) \psi (2^j x-k) dx$
(attention au fait qu’on n’utilise pas la normalisation $L^2$).
Le coefficient $ C_{j,k}$ contient une information sur le comportement de $f$ au voisinage de l’intervalle dyadique
$\lambda$ ($= \lambda (j,k)$) $=[ \frac{k}{2^j}, \frac{k+1}{2^j}[$ près duquel l’ondelette est localisée. On note alors $D_\lambda$ les
suprema locaux $D_\lambda = \displaystyle\sup_{ \lambda ' (j',k') \subset \lambda } \left| C_{j',k'} \right| $. Si l’ondelette $\psi$ est
$C^r$, alors elle a ses
$r$ premiers moments nuls :
$ \int \psi (x) dx = \int x \psi (x) dx = \dots = \int x^r\psi (x) dx =0 $.
Si $f$ se compose d’un comportement polynomial sur lequel est ajouté une fluctuation, les coefficients d’ondelette font
donc automatiquement
abstraction de ce comportement polynomial (figure 1 sur l’ADN
où cette propriété, spécifique aux
ondelettes, est exploitée). La théorie des bases orthonormées d’ondelettes est essentiellement due aux
travaux de
Meyer, Mallat et Daubechies.

Qu’est-ce que le formalisme multifractal ?

Le calcul numérique du spectre de singularités d’un signal est clairement impossible à effectuer
directement à partir de la définition (le calcul d’un exposant de Hölder qui peut être partout
discontinu est déjà complètement instable numériquement). Les bases du formalisme multifractal ont
été introduites en 1985 par Parisi et Frisch dans le célèbre article où ils introduisent la
notion même de multifractalité. Leur but était de calculer le spectre de singularités non pas
directement à partir de sa définition, mais plutôt à partir de quantités auxiliaires facilement
estimables numériquement. Ils proposaient de le faire à partir des fonctions de structure de la vitesse
(normes $L^p$ des accroissements de la vitesse) qui, depuis l’article fondateur de Kolmogorov sur la
turbulence (1941), étaient des quantités couramment utilisées. La variante que nous allons exposer est
basée sur une décomposition par ondelettes de la fonction. Elle constitue la caution mathématique des
méthodes numériques (MMTO, ou Méthode des Maxima de la Transformée en Ondelettes) développées au
début des années 90 par Arneodo et ses collaborateurs. L’intérêt d’utiliser les ondelettes est
multiple, tant au niveau pratique (fiabilité et efficacité de la méthode MMTO) qu’au niveau
théorique (nous verrons qu’elles permettent notamment de définir de nouveaux espaces fonctionnels sur
lesquels sont basés les résultats mathématiques récents concernant le formalisme multifractal pour
les fonctions). Pour simplifier la présentation, nous nous restreignons ici
à des fonctions définies sur $\mathbb{R}$.

Le formalisme multifractal est basé sur la proposition suivante qui relie la régularité ponctuelle aux
suprema locaux $D_\lambda$ (encadré 3). Ce résultat est valable si
$f$ est uniformément hölderienne, c’est-à-dire s’il existe $\varepsilon>0$ et $C>0$ tels que
[ \forall x,y ~;~;~;~; | f(x) -f(y) | \leq C | x-y|^\varepsilon ]
(nous faisons cette hypothèse pour tous les résultats mathématiques qui suivent).

L’exposant de Hölder de toute fonction $f$ uniformément hölderienne est donné par

\[\begin{equation}H_f (x_0) = \liminf_{ j \rightarrow +\infty, \; \lambda \in 3 \lambda_j (x_0)} \frac{\log (D_{\lambda})}{ \log (2^{-j})}\label{equation_1}\end{equation}\]

(ici $ \lambda_j (x_0)$ désigne l’intervalle dyadique de côté $2^{-j}$
contenant
$x_0$ et donc
$3 \lambda_j (x_0)$ représente cet intervalle ainsi que les deux intervalles adjacents de même longueur).

Les quantités « globales »,
calculables sur un signal seront les valeurs de la fonction d’échelle définie, pour tout $p \neq 0$, par
\[\begin{equation}\tau_f (p) = \liminf_{j \rightarrow +\infty} \frac{\log \left( \displaystyle \sum_{| \lambda | = 2^{-j}} | D_{\lambda}|^p \right)}{\log (2^{-j})},\label{equation_2}\end{equation}\]

où $| \lambda |$ désigne la longueur de l’intervalle $\lambda$ (on peut montrer que la fonction $\tau_f (p)$ ne dépend pas de l’ondelette,
suffisament régulière, choisie). Le formalisme multifractal peut
être
établi de la façon suivante : on interprète $\ref{equation_2}$ par le fait que
[ \sum | D_\lambda|^p \sim 2^ -\tau_f(p)j .]
Calculons la contribution à $\sum | D_{\lambda} |^p$ des intervalles dyadiques de côté $2^{-j}$ contenant un point où
l’exposant de Hölder vaut
$h$ ; d’après $\ref{equation_1}$, on a alors $| D_{\lambda}| \sim 2^{-hj}$ et, par définition de la dimension, l’ensemble $A_H$ est recouvert par
$\sim 2^{D(h) j}$ tels intervalles dyadiques. Cette contribution vaut donc
\[\begin{equation}2^{ (D(h) -ph)j} \label{equation_3}.\end{equation}\]
La contribution dominante sera celle correspondant à un $h$ tel que l’exposant dans $\ref{equation_3}$ est le plus grand possible. On
s’attend donc à ce que
[ - \tau_f (p) = \sup_h (D(h) -ph ).]
Comme $-\tau_f (p)$ est toujours une fonction convexe, si $-D(h)$ est également convexe, alors $-\tau_f $ et
$-D$ sont des fonctions convexes conjuguées qui se déduisent donc l’une de l’autre par transformation de
Legendre-Fenchel, ce qui signifie que
\[\begin{equation}D(h) = \inf_{p\in \mathbb{R}} (hp-\tau_f (p) )\label{equation_4}\end{equation}\]
qui est la formule recherchée. Empressons-nous de dire que le raisonnement heuristique ci-dessus
est loin d’être une démonstration mathématique.
Le seul résultat démontré en toute généralité est une majoration du spectre valable pour toute fonction :
[ D(h) \leq \inf_p\in \mathbbR (hp-\tau_f (p) ). ]
Il existe de nombreux contre-exemples à $\ref{equation_4}$, mais, en même temps, il est remarquable que
cette formule s’avère être vérifiée pour de nombreuses fonctions et processus aléatoires.
Aujourd’hui, le but principal des recherches mathématiques en analyse multifractale est de comprendre son
domaine de validité. A titre d’exemple, nous allons maintenant exposer un résultat de validité
« générique » du formalisme multifractal.

Prévalence, un « presque partout »

Dans un espace vectoriel $E$ de dimension finie, la notion naturelle de
« presque partout » invariante par translation signifie
« hors d’un
ensemble de mesure de Lebesgue nulle ». On vérifie facilement que, dans un espace de Banach de
dimension infinie, il n’existe pas de mesure de
Lebesgue (c’est-à-dire de
mesure qui soit invariante par translation et qui prenne des valeurs
finies non nulle sur les bornés d’intérieur non vide). On tourne cette
difficulté en remarquant que, si $E$ est de dimension finie, un borélien
$A \subset E$ est de mesure de Lebesgue nulle si et seulement s’il vérifie la propriété suivante :

il existe une mesure de probabilité $\mu$ à support compact telle que \[ \forall x \in E \;\; \mu (x+A) =0.\]

Cette caractérisation en dimension finie est prise comme définition si $E$ est un espace vectoriel métrique complet
de
dimension infinie. Les ensembles
$A$ vérifiant cette propriété sont dits timides. Le complémentaire d’un ensemble timide est dit prévalent.
Par abus de langage, on dira qu’une
propriété qui est satisfaite (au moins) sur un ensemble prévalent a lieu presque partout. Les résultats
suivants montrent que la notion de prévalence est une bonne généralisation de la notion de « presque partout » pour la
mesure de Lebesgue :

  • $A$ prévalent $\Longrightarrow $ $ \forall x \in E$, $ x+A$ prévalent.
  • $A$ prévalent $\Longrightarrow $ $A$ dense.
  • Une intersection dénombrable d’ensembles prévalents est un ensemble prévalent.

Validité prévalente du formalisme multifractal

Remarquons tout d’abord que, si $p$ est positif, la détermination de la fonction $\tau_f (p)$ revient à savoir si $f$ appartient ou
non à certains espaces fonctionnels ; si $s \in \mathbb{R}$ et $p >0$, l’espace d’oscillations ${\cal O}^s_p$ est défini par
\[\begin{equation} {\cal O}^s_p= \{ f : \;\; \forall j \geq 0, \; \;\; 2^{-j} \sum_{| \lambda | = 2^{-j}} | D_{\lambda} |^p \leq C 2^{-spj}\} \label{equation_5}\end{equation}\]
calculer $\tau_f $ revient à écrire que

\[\begin{equation}f \in \bigcap_{ \varepsilon >0, \; p >0} { \cal O}^{\frac{\tau (p)+1}{p} - \varepsilon}_p \label{equation_6}\end{equation}\]
et
[ f \notin \bigcup_ \varepsilon >0, ~; p >0 \cal O^\frac\tau (p)+1p + \varepsilon_p . ]

Notons ${ \cal O}^\tau$ l’espace défini par $\ref{equation_6}$ ; c’est un
espace vectoriel métrique complet. L’énoncé qui suit affirme que, au sens de la prévalence (encadré 3),
presque toute fonction de ${ \cal O}^\tau$ est multifractale.

Presque toute fonction $f$ de ${ \cal O}^\tau$ a pour fonction d’échelle \[\begin{equation}\left. \begin{array}{rll} \tau_f (p) & = \tau (p) & \mbox{si} \;\; p >0 \\& = p \tau' (0) -1 & \mbox{si} \;\; p <0 \end{array} \right\}\label{equation_7}\end{equation}\] et satisfait le formalisme multifractal, c’est-à-dire vérifie $\ref{equation_4}$.

Sans démontrer ce résultat, mentionnons seulement le rôle clé joué par les ondelettes : le formalisme multifractal relie le
spectre (défini à partir de quantités locales, les exposants de Hölder) à la fonction d’échelle (qui décrit des
propriétés globales d’appartenance à des espaces fonctionnels) ; or, les ondelettes sont actuellement le seul système de
représentation d’une fonction qui permette à la fois de caractériser ces propriétés locales, ( cf.$\ref{equation_1}$), et les
espaces fonctionnels correspondants, (cf. $\ref{equation_5}$).

La formule $\ref{equation_1}$ appliquée aux fonctions d’échelle $\ref{equation_7}$ fournit des spectres
génériques qui ont une partie croissante concave puis valent $-\infty$. Le lecteur sera sans doute
déçu de ne retrouver que la moitié gauche des courbes en $\cap$ typiques dans les applications
(figure 2 par exemple). En fait, l’utilisation d’espaces vectoriels, nécessaire dans
le cadre de la prévalence, interdit de prendre en compte des $p <0$ dans la définition de l’espace ${ \cal O}^\tau$. Or la partie décroissante du spectre est obtenue dans $\ref{equation_4}$ quand l’inf est
atteint pour des $p <0$. Le point de vue de la prévalence, par sa nature même, ne peut donner mieux.
On ne sait pas si des spectres de singularités comme celui de la figure 2 peuvent être obtenus comme
« spectres génériques » en un sens à préciser.

L’analyse multifractale dans les applications

Lorsqu’on souhaite réaliser l’analyse multifractale d’un signal particulier, on est confronté au problème suivant : le spectre
ne peut pas être calculé directement à partir de sa définition et d’autre part, les résultats mathématiques
garantissant la validité « générique » du formalisme multifractal sont impuissants à fournir un résultat pour une
fonction particulière. Il y a donc un acte de foi à appliquer le formalisme multifractal, même si les résultats
mathématiques nous garantissent qu’il faudrait jouer de malchance pour qu’il ne soit pas vérifié, au moins pour la partie
croissante du spectre (c’est-à-dire tant que l’inf est obtenu dans $\ref{equation_4}$ pour des $p$ positifs). Les figures 1 à 4
montrent quelques applications typiques de l’analyse multifractale effectuées avec la méthode MMTO où la fonction
d’échelle est désormais notée $\tau (q)$, en suivant la nomenclature utilisée dans les
articles originaux de Arneodo et al..

Figure 1 : analyse par ondelettes des séquences d’ADN

Une séquence d’ADN est formée d’une chaine dont chaque maillon est l’un des quatre acides nucléiques
Adénine (A), Cytosine (C), Guanine (G) et Thynine (T). On lui associe une `marche ADN’ (c’est-à-dire une
fonction de $\mathbb{R}^+$ dans $\mathbb{Z}$ constante entre deux entiers consécutifs) en incrémentant de +1 chaque fois
que l’on rencontre une purine (A ou G) et de -1 chaque fois qu’on rencontre une pyrimidine (C ou T). En (a)
est représenté la marche ainsi obtenue pour la séquence du bactériophage $\lambda$. En (b) est
ilustrée la représentation espace-échelle fournie par la transformation en ondelettes continue en utilisant
une ondelette analysatrice ayant deux moments nuls. On analyse ce signal à des
échelles
$\geq 10 $ nucléotides pour que les effets dus au caractère
discret de la marche disparaissent. A très grande échelle, le signal est clairement affine
par morceaux à cause de la composition hétérogène des génomes ; l’utilisation d’ondelettes ayant au
moins deux moments nuls est donc nécessaire pour s’affranchir de ces tendances ; comme l’illustre la
coupe (c)
effectuée
à l’échelle $\sim 400$ nucléotides, l’analyse par ondelettes permet alors d’étudier les
propriétés d’invariance d’échelle des génomes.

Figure 1 (suite)

La figure (a) représente (cercles) la fonction d’échelle du bactériophage $\lambda$, et (triangles)\
la fonction d’échelle, moyennée sur 2184 séquences, d’introns (partie ne codant pas pour les
protéines) humains ; la figure (b) représente les spectres de singularités $ D(h)$
correspondants
calculé par transformée de Legendre. On voit que les signaux correspondants ne présentent qu’un seul
exposant de Hölder $h \sim 0,6$ pour les introns, comme s’il s’agissait d’une fonction de Weierstrass, ou
d’un mouvement brownien fractionnaire corrélé à longue portée. On a en fait pu mettre en évidence des
corrélations de ce type dans toutes les séquences d’ADN d’organismes Eucaryotes (cellules possédant un noyau).
Celles-ci permettent de comprendre la nature « multiéchelle » du mécanisme d’empaquetage de la double
hélice
dans le noyau. Dans le cas du bactériophage $\lambda$ (et plus généralement dans l’ADN des
cellules d’organismes procaryotes, c’est-à-dire qui ne possèdent pas de noyau), on observe un
seul exposant de Hölder, mais qui vaut
$h= 0,5$ ; cela laisse supposer une absence de corrélations (par analogie avec la
marche brownienne). L’analyse multifractale permet donc ici de différencier les séquences d’ADN de
cellules possédant ou non un noyau.

Figure 2 : signal de vitesse de turbulence pleinement développée

Le signal représenté en (a) correspond à l’enregistrement ponctuel de la composante longitudinale du
champ de vitesse par une sonde à fil chaud dans la soufflerie de l’ONERA à Modane.
En (b), on voit que la fonction d’échelle $\tau (q)$ diffère d’une fonction affine
$\tau (q) = qh-1$ telle que celle obtenue (droite hachurée) pour un brownien fractionnaire
(monofractal) $B_{h=1/3}$ dont le spectre de puissance se comporte comme la fameuse loi en
$k^{-5/3}$ prédite par Kolmogorov pour les signaux de vitesse turbulents. Le spectre de
singularités $D(h)$ obtenu en (c) par transformation de Legendre s’étend entre les valeurs $h_{min} =0,12$
et $h_{max} =0,60$. Les singularités hölderiennes du champs de vitesse jouent un rôle
central pour comprendre la nature de la turbulence dans la mesure où ces variations de régularité du
signal sont la manifestation de ce qui est couramment appelé « phénomène d’intermittence » en
turbulence eulérienne.

Figure 3 : analyse multifractale de signaux financiers

La méthode MMTO a été appliquée à différents signaux financiers (taux de change,
commodités, indices boursiers). On montre ici l’indice standard américain $S\& P500$ (a)
ainsi que le taux de change entre le Yen japonais et le Dollar américain (b). Le caractère
non linéaire des fonction $\tau (q)$ correspondantes montre que ces signaux sont multifractals.
Ces résultats expérimentaux infirment les modèles classiques en finance basés sur
le mouvement brownien (et ses variantes). La similarité des fonctions d’échelle
obtenues avec celle observée pour les fluctuations de vitesse d’une particule dans un
flot turbulent permet d’établir une analogie entre les finances et la turbulence dite
lagrangienne : les signaux respectifs sont modèlisables par une marche au hasard
multifractale dont l’amplitudes des pas est corrélée à longue portée alors que les
signes sont quasiment décorrélés, ce qui explique les difficultés de prédiction.

Figure 4 : analyse d’images satellite de nuages

Un nombre important de phénomènes naturels comme de laboratoire conduisent
à la formation de surfaces rugueuses très irrégulières. La méthode MMTO
a été généralisée en dimension 2 par A. Arneodo et
ses collaborateurs. Nous présentons l’analyse d’une image prise à partir
du satellite Landsat d’un stratocumulus marin (a). Les nuages ont une influence non
négligeable sur la propagation du rayonnement solaire dans l’atmosphère ;
ils jouent donc un rôle central dans la régulation du climat. De ce fait, la
modélisation de leur structure est primordiale pour prédire l’évolution des
conditions climatiques. L’extrème simplicité des modèles utilisés actuellement pour
simuler la composante nuage dans le problème de l’interaction nuage-rayonnement
est responsable pour une grande part de l’incertitude des modèles climatiques.
La nature multifractale des images de nuages est clairement mise en évidence
par les résultats du calcul de la fonction d’échelle (b) et du spectre de
singularités (c) qui sont remarquablement reproduits par les prédictions d’un
modèle de cascade log-normale (trait plein). La comparaison du spectre obtenu
avec ceux calculés pour la vitesse (ligne pointillée) et la température
(ligne hachurée) dans un champ turbulent suggère que la distribution spatiale
des goutelettes d’eau dans un nuage est l’empreinte statistique de la nature intermittente
de la turbulence atmosphérique. Enfin, on voit que des cascades multiplicatives simples pourraient
fournir un outil de modélisation infiniment meilleur que les modèles
très rudimentaires (constants par morceaux) utilisés actuellement dans
l’étude de l’interaction entre les nuages et le rayonnement solaire.

Dans chaque cas, on peut se demander ce que la connaissance du spectre de
singularités apporte. La réponse dépend bien sûr de l’application et n’est que partiellement donnée (pour des
raisons
évidentes de concision) dans les figures. Ainsi, dans le domaine de la turbulence pleinement développée, nous avons vu
que des modèles mathématiques (cascades multiplicatives) avaient
été proposés pour modéliser une hypothétique structure multiplicative sous-jacente à la nature intermittente
des fluctuations de vitesse et de dissipation d’énergie.
L’analyse multifractale (figure 2) permet de déterminer les valeurs des paramètres de ces cascades pour que le
spectre de singularités du modèle coïncide avec le spectre expérimental ; il s’agit donc plus d’éliminer des
modèles non satisfaisants que d’apporter la preuve expérimentale de la validité d’un modèle particulier certainement trop
simpliste. Cette même analyse a permis
également de détecter des
évènements rares tels que les passage occasionnels, près de la sonde, de fins filaments de vorticité
correspondant
à un exposant de Hölder égal à
$-1$. Ces filaments n’ont été mis en évidence expérimentalement que très récemment par le groupe de l’ENS
dirigé par Yves Couder. Ils échappent aux modèles de cascade et démontrent donc qu’une description
réaliste des flots turbulents ne peut se limiter
à un simple mécanisme de cascade à travers les échelles, aussi sophistiqué soit-il, mais qu’elle doit prendre également en
compte les mécanismes de formation, d’interaction et de destabilisation de ces filaments de vorticité.

Plus généralement, l’analyse multifractale est couramment utilisée comme aide à la modélisation (en calant les paramètres
d’un modèle à l’aide du spectre de singularités numériquement calculé ou, éventuellement, en réfutant le modèle). Elle
peut aussi être une étape indispensable à la synthèse. C’est
également un outil de classification, en analyse de texture par exemple.
Ainsi, récemment, les premières applications de la méthode MMTO à l’imagerie mammographique ont conduit à classifier les
fluctuations de régularité de mammogrammes de seins normaux suivant la nature grasse ou glandulaire du tissus mammaire. L’étude de
seins anormaux a permis de détecter et d’identifier les microcalcifications comme des singularités fortes (d’exposant de Hölder
égal à $-1$) relativement aux singularités présentes dans les fluctuations de rugosité de la structure du sein ; de plus, la
décomposition espace-échelle que fournit la décomposition en ondelettes 2D permet naturellement de regrouper les
microcalcifications en amas dont les propriétés géométriques sont essentielles pour distinguer les microcalcifications de nature
maligne de celles de nature bénigne. Ainsi cette méthode se révèle
être une approche très prometteuse pour l’aide au diagnostic en imagerie médicale.

Les résultats mathématiques récents ont eu un profond impact dans les domaines appliqués. Ainsi, les physiciens pensaient
encore récemment qu’un comportement multifractal était la signature d’une organisation interne extrèmement précise dans le
signal (phénomènes de cascade, autosimilarité,...). Les résultats mathématiques de généricité ont renversé cette
perspective, puisqu’ils montrent qu’un signal quelconque est, en général, multifractal.

Ces avancées mathématiques ne répondent pas à toutes les questions des utilisateurs : on a vu que la prévalence
est, par nature, incapable de conforter l’expérimentateur par un résultat de validité « générique » portant sur tout le
spectre calculé. De plus, l’exposant de Hölder donne une information très incomplète sur la nature de la singularité
en un point. Les applications demandent aujourd’hui une classification beaucoup plus fine de ces singularités, prenant
en compte les comportement oscillatoires et (en dimension 2 et plus) les comportements directionnels ; il faudra alors construire une
nouvelle analyse multifractale adaptée à cette nouvelle classification.

Références

P. Abry, P. Gonçalves, J. Lévy-Véhel Eds., Lois d’Echelle, Fractales et Ondelettes Lavoisier (Coll. Hermes) (2002)


A. Arneodo, F. Argoul, E. Bacry, J. Elezgaray, J.-F. Muzy,
Ondelettes, multifractales et turbulence : de
l’ADN aux croissances cristallines,
Diderot Editeur, Arts et Sciences, Paris, 1995.

A. Arneodo, B. Audit, N. Decoster, J.-F. Muzy, C. Vaillant, Wavelet-based multifractal formalism : applications to DNA
sequences, satellite images of the cloud structure and stock market data,
dans : « The Science of Disasters » ; A. Bunde, J. Kropp, H. J. Schellnhuber eds., Springer pp. 27-102 (2002).

A. Arneodo, E. Bacry, J.-F. Muzy, The thermodynamics of
fractals revisited with wavelets,
Physica A, Vol. 213, pp. 232-275 (1995).


B. Hunt, T. Sauer, J. Yorke,
Prevalence : A translation invariant `almost every’ on infinite dimensional spaces. Bull. AMS,
Vol. 27, pp. 217-238 (1992).


S. Jaffard,

Wavelet techniques in multifractal analysis,

Fractal Geometry and
Applications : A Jubilee of Benoît Mandelbrot, M. Lapidus ed.
Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, (2003)

S. Jaffard, Y. Meyer and R. Ryan,
Wavelets : Tools for Science and Technology,
S.I.A.M., (2001)


J.-F. Muzy, E. Bacry, A. Arneodo,
The multifractal formalism revisited with wavelets, Int. J. Bif. Chaos,
Vol. 4, pp. 245-302
(1994).

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Pour citer cet article :

Stéphane Jaffard, Alain Arneodo — «L’analyse multifractale des signaux» — Images des Mathématiques, CNRS, 2004

Commentaire sur l'article

  • L’analyse multifractale des signaux

    le 3 juillet 2013 à 22:43, par Pierre

    Bonjour,
    J’ai trouvé cet article très intéressant. Je suis actuellement en stage de deuxième année d’école d’ingénieur (traitement du signal) au Chili sur le thème de l’analyse multifractale appliquée aux signaux de la bourse. Etant tout nouveau, j’ai un peu de mal à me débrouiller au milieu des références d’articles ...
    Je suis en effet à la recherche de l’article d’où sont extraites les courbes financières et leurs analyses. Il s’agit de « Figure 3 : analyse multifractale de signaux financiers » dans ce billet.
    Merci pour votre aide et mes excuses si je m’exprime au mauvais endroit.

    Et Bravo pour votre excellent site, continuez !

    Pierre

    Répondre à ce message

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