L’arbelos. Partie I

Présentation et propriétés de l’arbelos

Piste rouge 12 février 2014  - Ecrit par  Hamza Khelif Voir les commentaires (4)

L’arbelos, ce bel objet géométrique étudié par Archimède il y a plus de deux millénaires, n’a été tiré de l’oubli que depuis environ deux siècles. Depuis, il ne cesse de susciter la curiosité des géomètres qui continuent à en dévoiler davantage de mystères. Ils en ont même donné tout récemment une version parabolique, une autre hyperbolique et une généralisation très intéressante : le parbelos, l’hyperbelos et le f-belos. Ces derniers qui feront l’objet de la deuxième partie, seront accompagnés d’un autre bel objet de même âge que l’arbelos, mais moins inspirateur et moins fréquent dans la littérature, à savoir le salinon que nous généraliserons aux parlinon et f-linon !

Introduction

L’arbelos (en Grec $\alpha \rho \beta \eta \lambda o\varsigma $ qui signifie couteau ou tranchet du cordonnier à cause de sa ressemblance avec la lame d’un couteau utilisé par les anciens cordonniers, et dans le métier du cuir en général [1]) est une région plane délimitée par la réunion de trois demi-cercles tangents deux à deux et situés dans le même demi-plan défini par la droite contenant leurs extrémités. On croit que le premier mathématicien qui a entrepris l’étude des propriétés mathématiques de cette figure géométrique est Archimède. Archimède (287 av. J. C. - 212 av. J. C.) qui a sacrifié sa vie pour défendre ses cercles, est un mathématicien, un physicien, un ingénieur, un inventeur et un astronome grec. Sa contribution essentielle en mathématique est en géométrie où il a étudié en particulier l’aire de figures planes [2], les volumes et l’aire de surfaces courbes. Il est considéré comme l’un des plus grands mathématiciens de l’antiquité et de tous les temps.

Perdu dans les sables des temps pendant plus de deux mille ans, l’arbelos ne s’en est fait tirer pour ainsi dire que vers 1826. Le premier traitement substantiel de l’arbelos dans les temps modernes est une partie d’un célèbre article écrit par Jakob Steiner et paru dans le premier volume du journal de Crelle en 1826 [3].

Source intarissable de propriétés géométriques remarquables, l’arbelos reste encore une source d’inspiration pour les géomètres qui en ont donné tout récemment de nouvelles versions et des généralisations intéressantes.
La première est une variante parabolique de l’arbelos circulaire ; elle apparaît dans une prépublication en 2012 [4]. La deuxième, « f-belique », encore plus générale, voit le jour le 30 octobre de la même année [5]. D’autres généralisations dans lesquelles les demi-cercles inférieurs sont disjoints ou se rencontrent en un point intérieur au grand demi-disque ont été aussi étudiées (Références 7. et 8. ci-dessous). Encore plus, l’arbelos hyperbolique dans le disque de Poincaré, où les demi-cercles (hyperboliques) ont leurs centres (hyperboliques) et leurs points de tangence sur une droite (hyperbolique) de ce disque a aussi pris place en Géométrie (Référence 4. de la Partie II de cet article.).

Nous allons présenter dans cet article qui se scinde donc en deux parties, l’ensemble de ces objets géométriques. Pour chacun d’eux nous donnerons la définition mathématique, les propriétés les plus remarquables connues dont il jouit, ainsi que d’autres objets géométriques simples associés : droites, cercles, parallélogrammes, etc.

Dans toute la suite, $(AB)$ désignera la droite contenant les points $A$ et $B$, $[AB]$ le segment d’extrémités $A$ et $B$, et $AB$ la longueur de ce segment, c’est-à-dire la distance de $A$ à $B.$

L’arbelos

Définition

Soient $\mathcal{C}$ un demi-cercle de diamètre $[AB]$ et $C$ un point de ce diamètre. À l’intérieur du demi-disque ainsi défini on trace les demi-cercles $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ de diamètres respectifs $[AC]$ et $[CB]$. L’arbelos est l’ensemble des points du plan limité par la réunion de ces trois demi-cercles (fig.1).

Propriétés

L’arbelos jouit de propriétés très intéressantes. Nous en exposons ci-dessous les plus simples.

Tout d’abord, posons $AC = 2a$ et $CB = 2b$ avec $a \ge b$, et désignons par $O$, $O_1$, $O_2$ les milieux respectifs des segments $[AB]$, $[AC]$, $[CB]$.

1) La longueur de l’arc supérieur d’un arbelos est égale à la somme des longueurs des arcs inférieurs.

En effet, la longueur de l’arc supérieur est égale à $\pi(a+b)=\pi a+\pi b$, c’est-à-dire la moitié de la longueur $2\pi (a+b)$ d’un cercle de rayon $a+b$. Les longueurs des arcs inférieurs sont $\pi a$ et $\pi b.$

2) L’aire de l’arbelos est égale à celle du disque de diamètre $CD$ où $D$ est le point de rencontre de la perpendiculaire en $C$ à la droite $(AB)$ avec le grand demi-cercle (fig. 2).

Démonstration

L’aire d’un disque de rayon $R$ est $\pi R^2$ ; l’aire d’un demi-disque est donc la moitié. Ici, le rayon du grand cercle est $a+b$, la moitié de la distance entre $A$ et $B$. De même, les deux petits demi-disques qui sont évidés ont des aires égales à $\pi a^2/2$ et $\pi b^2/2$. Donc l’aire ${\mathcal{A}}$ de l’arbelos est

\[{\mathcal{A}}= \pi \frac{1}{2}(a+b)^2-\pi \frac{1}{2}b^2-\pi \frac{1}{2}b^2 = \pi ab,\]

la dernière égalité résultant de $(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$.

Pour calculer l’aire du disque de diamètre $[CD]$ il faut calculer la distance $CD$. En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle de sommets $A$, $B$ et $D$ on trouve $AD^2+DB^2=AB^2$ ; dans le triangle de sommets $A$, $C$ et $D$ on trouve $CD^2+AC^2=AD^2$ ; et dans celui de sommets $B$, $C$ et $D$ on obtient $CD^2+ BC^2=BD^2$. On trouve donc la relation $CD^2=4 ab$ (on ajoute membre à membre les trois relations précédentes et on simplifie). [6]. Ceci montre que l’aire du disque de diamètre $[CD]$ est $\pi ab$, ce qui établit la propriété annoncée.

3) Soient $M$ et $N$ les points de rencontre des segments $[AD]$ et $[BD]$ avec $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$. Alors le quadrilatère $MCND$ est un rectangle et la droite $(MN)$ est tangente à $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ (fig. 3).

Démonstration

Les angles $\widehat {AMC}$, $\widehat {CNB}$ et $\widehat {ADB}$ sont droits car chacun est inscrit dans un demi-cercle, le quadrilatère $MCND$ est donc un rectangle.

Soit $P$ le point de rencontre des diagonales du rectangle ; on a donc $PM=PN =PD=PC$ et le triangle $CPM$ est isocèle. Il en de même pour le triangle $O_1MC$ dans lequel on a $O_1M=O_1C$. Il vient

\[\widehat {O_1MC}=\widehat {MCO_1}\] et \[ \widehat {CMP}=\widehat {PCM}.\]
Nous avons donc
\[\widehat {O_1MP}=\widehat {O_1MC}+\widehat {CMP}=\widehat {MCO_1}+\widehat {PCM}=\widehat {PCO_1}=\frac{\pi }{2}.\]
Ainsi la droite $MN$ est tangente en $M$ à $\mathcal{C}_1.$
On démontre de façon analogue que $MN$ est tangente en $N$ à $\mathcal{C}_2.$

4) Soit $[UV]$ la corde de $\mathcal{C}$ incluant le segment $[MN]$. Alors les points $U$ et $V$ appartiennent au cercle de centre $D$ et contenant le point $C$ (fig. 3).

Démonstration

Soit $\Im $ l’inversion de pôle $D$ et de puissance $k=DC^2$, c’est-à-dire la transformation du plan qui envoie tout point $M$, distinct de $D$, en le point $M'$ aligné avec $D$ et $M$ et tel que $\overline {DM} .\overline {DM'} = k$ (produit de mesures algébriques).
Comme les puissances de $D$ [7] par rapport aux cercles $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ sont respectivement $DM.DA=DC^2$ et $DN.DB=DC^2$ alors $M$ et $N$ sont les images respectives de $A$ et $B$ par l’inversion $\Im $. On en déduit que $(MN)$ est l’inverse de $\mathcal{C}$, et comme $U$ et $V$ appartiennent à $\mathcal{C}$ et à $(MN)$, ils sont invariants par cette inversion. [8]

On a donc $DU=DC$ et $DV=DC$.

Cercle de Pappus

Un arbelos étant donné, il existe un cercle $\mathcal{C'}$ inclus dans cet arbelos et tangent à $\mathcal{C}$, $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ ; on l’appelle cercle inscrit ou encore cercle de Pappus.
Archimède a également déterminé le rayon de ce cercle.

Le rayon du cercle de Pappus est \[r=\frac{ab(a+b)}{a^2+ab+b^2}.\]

Démonstration

En effet soit $O'$ le centre de $\mathcal{C'}$ et $P$ son projeté orthogonal sur la droite $(AB)$. $P$ appartient au segment $[CO_2]$ puisqu’on a supposé $a \ge b.$

Des triangles rectangles $OO'P$, $O_1O'P$ et $O_2O'P$ il vient
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {O'{O^2} = O'{P^2} + O{P^2}}\\ {O'O_1^2 = O'{P^2} + {O_1}{P^2}}\\ {O'O_2^2 = O'{P^2} + {O_2}{P^2}} \end{array}} \right.\]

Soit \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{(a + b - r)}^2} = O'{P^2} + O{P^2}\;\;\;\;\,\;\;}\\ {{{(a + r)}^2} = O'{P^2} + {{(b + OP)}^2}\;\;\;\;\;}\\ {{{(b + r)}^2} = O'{P^2} + {{(a - OP)}^2}\;\quad } \end{array}} \right.\]
car \[O_1P=O_1O+OP=OP+(AO - AO_1)=OP+(a+b)-a=b+OP\] et \[O_2P=O_2O-OP=(a+b)-b-OP=a-OP.\]
Des deux premières égalités il vient
$bOP=2ar-b^2-ab+br$ et de la première et la troisième il vient $aOP=a^2+ab-ar-2br.$
D’où \[r=\frac{ab(a+b)}{a^2+ab+b^2}.\]

Archimède a aussi démontré le résultat suivant.

Si $[GH]$ est le diamètre du cercle $\mathcal{C'}$, parallèle à la base $AB$, et $G'$, $H'$ les projetés orthogonaux de $G$ et $H$ sur $(AB)$, alors $AG'$, $G'H'$, $H'B$ sont des termes consécutifs d’une suite géométrique et le quadrilatère $GHH'G'$ est un carré (fig.5).

Pour démontrer cette assertion on a besoin du lemme suivant.

Lemme

Soient $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C'}$ deux cercles de centres $O$ et $O'$, de diamètres parallèles $[AB]$ et $[A'B']$ et tangents en $I$. Alors les points $I$, $A$, $A'$, et $I$, $B$, $B'$ sont alignés (fig. 4).

Preuve du lemme

On suppose $IO \ge IO'$ et, quitte à considérer le symétrique de l’un des deux cercles par rapport à $I$, on peut supposer $\mathcal{C'}$ tangent intérieurement à $\mathcal{C}$.

Soit $J$ le point du diamètre $[AB]$ tel que la droite $(A'J)$ soit parallèle à la droite $(OO')$.
Le quadrilatère $OJA'O'$ est un parallélogramme. On a :
\[OJ = O'A' = O'I.\]
Sachant que $OA=OI$, on a :
\[JA = OA - OJ = OI - O'I = OO' = JA'.\]
Comme les triangles isocèles $JAA'$ et $O'A'I$ ont les angles au sommet de même mesure, leurs angles de la base ont aussi la même mesure.
On a donc \[\widehat {A'AJ} = \widehat {IA'O'}.\]
Les angles $\widehat {AJA'}$ et $\widehat {O'A'J}$ ayant même mesure (alternes internes), il vient :
\[\widehat {IA'A} = \widehat {IA'O'} + \widehat {O'A'A} = \widehat {A'AJ} + \widehat {O'A'A} = \pi. \]
Les points $I$, $A$ et $A'$ sont donc alignés.

On démontre de la même manière l’alignement de $I$, $B$ et $B'.$

Démonstration de l’assertion

Soient $X$, $Y$ et $Z$ les points de contact du cercle $\mathcal{C'}$ avec $\mathcal{C}$, $\mathcal{C_1}$ et $\mathcal{C_2}$ respectivement. D’après le lemme précédent on a l’alignement des points formant chacun des triplets suivants :
\[(A,G,Z), (B,H,Z), (A,X,H), (B,Y,G), (C,X,G), (C,Y,H).\]
On considère les points $I$ commun à $(AZ)$ et $\mathcal{C_1}$, $J$ commun à $(BZ)$ et $\mathcal{C_2}$, $K$ à $(AX)$ et $(CI)$ et $L$ commun à $(BY)$ et $(CJ).$

Les droites $(CI)$ et $(BZ)$ sont parallèles, de même que $(CJ)$ et $(AZ)$. Donc \[\frac{AC }{CB}=\frac{AK }{KH}=\frac{AG'}{G'H'}\] et \[\frac{AC }{CB}=\frac{GL }{LB}=\frac{G'H' }{H'B}.\]
Ainsi \[\frac{AG' }{G'H'}=\frac{G'H'}{H'B}=\frac{a }{b}.\]
$AG'$, $G'H'$, $H'B$ sont donc bien des termes consécutifs d’une suite géométrique.

D’autre part on a \[AG' =\frac{a}{b}{G'H'}=\frac{2a^2(a+b)}{a^2+ab+b^2}\] et
\[H'B=\frac{b }{a}{G'H'}=\frac{2b^2(a+b)}{a^2+ab+b^2}.\]
De la similitude des triangles $AG'G$ et $HH'B$ on a
\[\frac{GG' }{AG'}=\frac{BH'}{HH'},\]
soit \[GG'^2=AG'.BH'=\frac{4a^2b^2(a+b)^2}{(a^2+ab+b^2)^2}.\]
D’où \[GH=GG'=\frac{2ab(a+b)}{a^2+ab+b^2}.\]
Le quadrilatère $GHH'G'$ est effectivement un carré.

Cercles jumeaux d’Archimède

Soient $\mathcal{C'}_1$ le cercle tangent à $\mathcal{C}$, $\mathcal{C}_1$ et $(CD)$, et $\mathcal{C'}_2$ le cercle tangent à $\mathcal{C}$, $\mathcal{C}_2$ et $(CD)$.

Les cercles $\mathcal{C'}_1$ et $\mathcal{C'}_2$ sont isométriques et leur rayon est \[R=\frac{ab}{a+b}.\]

Les cercles $\mathcal{C'}_1$ et $\mathcal{C'}_2$ s’appellent les cercles jumeaux d’Archimède (fig . 6).

Le rayon du plus petit disque qui contient les cercles jumeaux d’Archimède est $\sqrt{ab}.$

Cercles archimédiens

Définition

On appelle cercle archimédien tout cercle construit à partir d’un arbelos et dont le rayon est égal à celui des cercles jumeaux d’Archimède.

La liste des cercles archimédiens est illimitée. Nous nous contentons d’en donner ci-dessous les plus connus. Pour en savoir davantage, consulter les références 1., 6., 7. et voir ici.

Cercle de Bankoff

Si $X$ et $Y$ sont les points de contact du cercle $\mathcal{C'}$ avec les cercles $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ alors le cercle circonscrit au triangle $CXY$ est appelé cercle de Bankoff (fig. 7).

Le cercle de Bankoff est archimédien, c’est-à-dire que son rayon est égal à $R.$

Démonstration

Tout d’abord on peut remarquer que le cercle de Bankoff est aussi le cercle inscrit du triangle $O_1O_2O'$ où $O'$ est le centre du cercle de Pappus $\mathcal{C'}$, car \[O_1C=O_1X=a, O_2C=O_2Y=b, O'X=O'Y=\frac{ab(a+b)}{a^2+ab+b^2}.\]
Le demi-périmètre de ce triangle est égal à $a+b+r= \frac{(a+b)^3}{a^2+ab+b^2}$ et son aire, par application de la relation de Héron [9], est
\[\mathcal{A'}=\sqrt {\frac{{{{(a + b)}^3}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}}.\frac{{ab(a + b)}}{{{a^2} + ab + {b^2}}}.a.b} = \frac{{ab{{(a + b)}^2}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}}.\]
Mais l’aire d’un triangle est aussi égale au produit de son demi-périmètre par le rayon du cercle inscrit. Donc on a aussi \[\mathcal{A'}=R' \frac{(a+b)^3}{a^2+ab+b^2}\] où $R'$ est le rayon du cercle (de Bankoff) inscrit au triangle $O_1O_2O'$. D’où \[R'=\frac{ab}{a+b}=R.\]

Cercle de Schoch

Le cercle $\mathcal{C}_S$ inscrit dans le triangle « curviligne » déterminé par les cercles $\mathcal{C}$, $\mathcal{C}(A, 2a)$ et $\mathcal{C}(B, 2b)$, appelé cercle de Schoch, est archimédien, c’est-à-dire que son rayon est égal à $R$ (fig. 8).

Soit $O_S$ le centre du cercle $\mathcal{C}_S$. La droite contenant le point $O_S$ et perpendiculaire à la droite $(AB)$ s’appelle la droite de Schoch.

Cercles de Woo

Soient $k$ un nombre réel strictement positif et $A_W$, $B_W$ les points appartenant aux demi-droites respectives $[CA)$, $[CB)$ tels que $A_WC = ka$ et $B_WC = kb$. Le cercle $\mathcal{C}_W$ tangent à $\mathcal{C}(A_W,ka)$ et $\mathcal{C}(B_W,kb)$ et dont le centre $O_W$ appartient à la droite de Schoch s’appelle un cercle de Woo et son rayon est égal à $R$, c’est-à-dire que c’est un cercle archimédien (fig. 9).

Cercles de Frank Power

Soit $P_1$ (resp. $P_2$) le point de $\mathcal{C}_1$ (resp. $\mathcal{C}_2$) qui se projette orthogonalement en $O_1$ (resp. en $O_2$) sur $(AB).$

Les cercles $\mathcal{C'}_3$, $\mathcal{C'}_4$ (resp. $\mathcal{C'}_5$, $\mathcal{C'}_6$) tangents à $(OP_1)$ en $P_1$ (resp. à $(OP_2)$ en $P_2$) et à $\mathcal{C}$, appelés cercles de Frank Power, ont le même rayon égal à $R$ et sont donc des cercles archimédiens (fig. 10).

Démonstration

Désignons par $r$ le rayon de $\mathcal{C'}_3$. On a \[OP_1^2=O_1P_1^2+OO_ 1^2=a^2+b^2\] et \[OO_3'^2=(a+b-r)^2.\]
Le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle $OO'_3P_1$ donne
\[(a+b-r)^2=(a^2+b^2)+r^2.\]
D’où \[r=\frac{ab }{a+b}.\] On procède de façon analogue avec les trois autres cercles.

Chaîne de Pappus

On pose $\mathcal{C}^{(0)}=\mathcal{C}_2$. La famille de cercles $(\mathcal{C}^{(n)})_{n\in\mathbf{N}}$ telle que $\mathcal{C}^{(n+1)}$ est tangent à $\mathcal{C}$, $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}^{(n)}$ pour tout entier $n\geq0$ s’appelle chaîne de Pappus (fig. 11). Si l’on désigne par $O^{(n)}$ et $r_n$ le centre et le rayon du cercle $\mathcal{C}^{(n)}$, alors la distance $h_n$ de $O^{(n)}$ à la droite $(AB)$ est donnée par
\[h_n=2nr_n.\]

Si on pose $\lambda =\frac{AC}{AB}$ alors on a pour tout $n \in N$
\[r_n=(a+b)\frac{\lambda(1-\lambda)}{n^2(1-\lambda)^2+\lambda}.\]

Les points $O^{(n)}$, $n\in\mathbf{N}$, appartiennent à l’ellipse de foyers $O$ et $O_1$ et de grand axe $2a+b$ qu’on pourra peut-être appeler ellipse de Pappus.

En utilisant la définition bifocale d’une ellipse [10] on voit qu’on a en effet \[O_1O^{(n)}+OO^{(n)}=(a+r_n)+(a+b-r_n)=2a+b.\]

Empilement de cercles apolloniens

En revenant au cercle inscrit dans l’arbelos, il est à noter que son existence découle du théorème suivant attribué à Apollonius.

Étant donnés trois cercles tangents deux à deux, il existe exactement deux cercles tangents à ces trois cercles (fig. 12).

En utilisant le théorème d’Apollonius on peut tracer de nouveaux cercles tangents à trois des cercles précédents, et obtenir un empilement infini de cercles appelé empilement de cercles apolloniens ou encore baderne d’Apollonius [11].

Si Apollonius ne s’intéressait qu’à la construction géométrique, René Descartes chercha lui un lien entre les courbures (les inverses des rayons) de ces cercles.
Dans une lettre adressée en 1643 à la princesse Élisabeth de Bohême, René Descartes donne la relation entre les courbures de quatre cercles tangents trois à trois, résultat que formule le théorème de Descartes suivant [12].

Pour que quatre nombres réels $a$, $b$, $c$ et $d$ soient les courbures de quatre cercles tangents trois à trois il faut et il suffit qu’ils vérifient la relation
\[2(a^2+b^2+c^2+d^2)=(a+b+c+d)^2.\]

Étant donnés trois cercles tangents deux à deux de courbures $a$, $b$, $c$, les courbures $d$ et $d'$ des deux cercles d’Apollonius satisfont la relation
\[d+d'=2(a+b+c).\]
Aussi, si $a$, $b$, $c$, $d$ sont des nombres entiers, il en est de même de $d'.$

Le théorème de Soddy suivant (1936) va plus loin dans ce sens.

Si les courbures des quatre cercles initiaux d’un empilement apollonien sont des nombres entiers il en est de même pour tous les cercles de cet empilement.

De nouvelles questions peuvent alors se poser comme l’existence éventuelle, dans un empilement apollonien, d’une infinité de cercles dont les courbures sont des nombres premiers, sur les entiers qui sont des courbures de cercles dans un empilement intégral (c’est-à-dire dont tous les cercles ont des courbures entières), etc.

Arrêtons-nous ici pour ne pas nous perdre dans ce sujet qui devient lui-même une théorie mathématique à part entière, et reprenons avec un peu de détail les étapes d’une construction d’Apollonius.

Étape 0 - On commence avec trois cercles $C_1$, $C_2$ et $ C_3$, chacun d’eux étant tangent aux deux autres. Dans la construction générale, ces trois cercles peuvent avoir des rayons quelconques, tant qu’ils sont tangents, mais nous supposons, sans perte de généralité, que deux de ces cercles ont même rayon et qu’ils sont inclus dans le disque défini par le troisième (fig. 13 a)).

Étape 1 - Soient $C_4$ et $C_5$ les deux cercles donnés par le théorème d’Apollonius, qui seront appelés cercles d’Apollonius. Maintenant on a deux nouveaux cercles, et le nombre de cercles qui composent la figure obtenue est égal à cinq (fig. 13 b)).

Étape 2 - Les trois cercles $C_4$, $C_1$, $C_2$ étant tangents deux à deux, ont à leur tour leurs propres cercles d’Apollonius dont l’un est $C_3$. Soit $C_6$ l’autre cercle (fig. 13 c)).

De façon analogue on construit le cercle $C_7$ tangent à $C_4$, $C_2$, $C_3$, et un autre cercle $C_8$ tangent à $C_4$, $C_3$ et $C_1$. On obtient trois nouveaux cercles auxquels s’ajoutent les trois cercles obtenus à partir de $C_5$, donc on a six nouveaux cercles. À la fin de cette étape la construction contient en tout onze cercles, à savoir les cercles de $C_1$ à ${C_{11}}.$

Étape $n$ - Dans chaque triangle curviligne (interstice) de la construction de l’étape précédente on construit le cercle tangent aux trois arcs qui le forment. Le nombre de nouveaux cercles ajoutés est égal à ${2.3^{n - 1}}$ ($n \geqslant 1$).

En effet, à l’étape 1 on a deux nouveaux cercles inscrits dans chacun des deux triangles curvilignes de départ. À l’étape 2 chacun de ces deux cercles donne naissance à trois nouveaux cercles inscrits dans les trois triangles qu’il détermine avec ses voisins, donc en tout 2.3 nouveaux cercles. En passant à l’étape suivante le nombre précédent de nouveaux cercles est multiplié par trois, et ainsi de suite.

Ainsi le nombre total de cercles obtenus à l’étape $n$ est
\[3+2+2.3+2.3^2+...+2.3^{n-1}=3+2(1+3+3^2+...3^{n-1})=3+2\frac{3^n-1}{3-1}=3^n+2.\]

En répétant ce processus jusqu’à l’infini (!) on obtient un objet géométrique, la baderne d’Apollonius (fig. 13 d)) [13].

Ainsi nous terminons la première partie de l’article dans laquelle l’arbelos (circulaire) a occupé tout le terrain vu l’abondance de ses propriétés. Dans la deuxième partie nous présentons les diverses versions et généralisations connues de l’arbelos : le parbelos, le f-belos et l’hyperbelos . En même temps, nous y intégrons un autre objet géométrique parent qui a été étudié, lui aussi, par Archimède, à savoir le salinon que nous généraliserons aux parlinon et f-linon.

Références

1. H. P. Boas, Reflections on the Arbelos. The Mathematical Association of America Monthly, 113 (March 2006), 236-249.

2. Baptiste Gorin, Une étude de l’arbelos.
On trouve dans cet article presque tout ce qu’on peut savoir sur l’arbelos, accompagné de figures et de démonstrations détaillées.

3. Arbelos from Wolfram Mathworld

4. Brian Mortimer, The Geometry of The Arbelos. Carleton University, April, 1998.

5. Hiroshi Okumura and Masayuki Watanabe, The Archimedean Circles of Schoch and Woo, Forum Geometricorum 4 (2004) 27-34.

6. Hiroshi Okumura and Masayuki Watanabe, Characterizations of an infinite set of Archimedean circles, Forum Geometricorum, 7 (2007) 121-123.

7. Hiroshi Okumura and Masayuki Watanabe, Generalized arbelos in aliquot parts : non-Intersecting case, Journal for Geometry and Graphics 13 (2009), 41-57.

8. Hiroshi Okumura and Masayuki Watanabe, Generalized Arbelos in aliquot parts : intersecting case, Journal for Geometry and Graphics 12 (2008), 53-62.

9. Arbelos sur Wikipedia

10. Peter Y. Woo, Simple Constructions of the Incircle of an Arbelos. Forum Geometricorum, Volume 1 (2001) 133-136.

Post-scriptum :

L’auteur tient à remercier Serge Cantat, responsable de la rubrique Objet du mois, pour ses suggestions et ses conseils durant la rédaction de l’article et Carole Gaboriau pour ses remarques qui ont fait passer l’article du « petit billet » à l’état actuel. Les remerciements vont aussi au relecteur Thierry Barbot pour ses judicieuses remarques, au relecteur Jean Lefort et au relecteur dont le pseudonyme est Diego pour leurs remarques utiles.

Article édité par Serge Cantat

Notes

[1Un cordonnier en plein travail, avec son arbelos. Image tirée de l’ouvrage The Cambridge Illustrated History of Ancient Greece édité par Paul Cartledge, Cambridge University Press, 9 Dec. 2002.

[2La relation $\mathcal{A}=\pi r^2$ qui donne l’aire d’un disque de rayon $r$, par exemple, lui est attribuée. Le nombre $\pi$ est même appelé nombre d’Archimède.

[3J. Steiner, Einige geometrische Betrachtungen, J. Reine Angew. Math. 1 (1826) 161–184, 252–288.

[4L’article est publié dans arXiv le 4 mai 2013 (Référence 2. de la Partie II de cet article).

[5Référence 1. de la Partie II de cet article.

[6On peut aussi utiliser la propriété que dans un triangle rectangle (ici $ABD$) la hauteur (ici $CD$) relative à l’hypoténuse est la moyenne géométrique des segments qu’elle détermine sur cette hypoténuse, ce qu’on peut déduire de la similitude des triangles rectangles $ACD$ et $BCD$ ; soit \[CD^2=AC.CB=2a.2b=4ab.\]

[7La puissance d’un point $P$ par rapport à un cercle $\mathcal{C}$ est le nombre \[\mathcal{P}(P) =\overline {PM} .\overline {PM'}\] où $M$ et $M'$ sont les points communs à $\mathcal{C}$ et une droite quelconque contenant $P$. Ces points sont bien entendu confondus si la droite est tangente au cercle. Le nombre $\mathcal{P}(P)$ est positif si le point $P$ est extérieur au cercle, nul s’il lui appartient et négatif s’il appartient au disque ouvert défini par le cercle. On peut aisément vérifier que \[\mathcal{P}(P)=d^2-r^2\] où $d$ est la distance du point $P$ au centre du cercle et $r$ le rayon de ce cercle.

[8Soient $\Im $ une inversion de pôle $\omega $ et de puissance $k$, et $\mathcal{C}$ un cercle contenant $\omega$. On considère le point $A$ de $\mathcal{C}$ diamétralement opposé à $\omega$ et son inverse $H$ par $\Im $. Soit alors $M$ un point quelconque de $\mathcal{C}$ distinct de $A$ et de $\omega$, d’inverse $M'$. L’égalité \[\overline {\omega A} .\overline {\omega H} = \overline {\omega M} .\overline {\omega M'}\] (chaque membre étant égal à $k$) montre que les points $A$, $H$, $M'$, $M$ sont cocycliques. Pour s’en convaincre, considérer, par exemple, le cercle $\gamma$ circonscrit au triangle $AHM$ et la puissance de $\omega$ par rapport à ce cercle : \[\overline {\omega A} .\overline {\omega H} = \overline {\omega M} .\overline {\omega N},\] où $N$ est l’autre point commun au cercle $\gamma$ avec la droite $(\omega M)$. En déduire ensuite que $N$ n’est autre que $M'$. Cela étant, comme l’angle $\widehat {AMM'}$ est droit, il en est de même de l’angle $\widehat {AHM'}$. Aussi, lorsque $M$ décrit $\mathcal{C}$, $M'$ décrit la droite $\Delta$ perpendiculaire en $H$ à la droite $(\omega A)$. L’image par $\Im $ du cercle $\mathcal{C}$ (qui contient le pôle $\omega$) est la droite $\Delta.$

[9Si les longueurs des côtés d’un triangle sont $a$, $b$ et $c$, alors son aire est \[\mathcal{S}=\sqrt{ s(s-a)(s-b)(s-c)}.\] où $s=\frac{a+b+c}{2}.$

[10L’ellipse de foyers $F$, $F'$ et de grand axe $2\alpha$ est l’ensemble des point $M$ tels que \[MF+MF'=2\alpha.\]

[11Un grand nombre de questions arithmétiques et géométriques intéressantes sur les empilements apolloniens sont formulées dans les articles suivants :

$ \bullet $ Apollonian Packings : Number theory (2003),

$ \bullet $ Apollonian Packings : geometry and group theory I (2005),

$ \bullet $ Apollonian Packings : geometry and group theory II (2006),

par Graham, Lagarias, Mallows, Wilks, Yan.

$ \bullet $ A note on the density of Apollonian curvatures in Z,
http://math.berkeley.edu/ efuchs/posdensapollo.pdf (2009),

$ \bullet $ Arithmetic properties of Apollonian circle packings, Ph.D. thesis, Princeton University (2010),

$ \bullet $ Strong Approximation in the Apollonian group, J. Number Theory 131, pp. 2282-2302 (2011),

$ \bullet $ Counting Problems in Apollonian Packings, Journal : Bull. Amer. Math. Soc. 50 (2013), 229-266,

$ \bullet $ Some experiments with integral Apollonian circle packings, Exp. Math. 20, pp. 380-399 (2011)

par Elena Fuchs, le dernier étant en collaboration avec K. Sanden.

La plupart des problèmes sur ce sujet sont actuellement résolus à l’aide de résultats récemment obtenus sur les formes modulaires, la théorie ergodique, la géométrie hyperbolique, en combinatoire, etc.

[12Théoriquement le terme cercle peut signifier ce qu’on peut appeler cercle généralisé : une droite est un cercle de courbure nulle, c’est-à-dire de rayon infini. Les positions relatives possibles de quatre cercles tangents trois à trois, qui forment ce qu’on appelle aussi configurations de Descartes sont alors représentées ci-dessous.

[13L’objet obtenu est une fractale dont la dimension (fractale) est $1,305688...$

Si au départ on a deux cercles de courbure $1$ et deux de courbure $0$, par exemple, la baderne d’Apollonius qu’on obtient n’est pas bornée.

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Pour citer cet article :

Hamza Khelif — «L’arbelos. Partie I » — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Commentaire sur l'article

  • L’arbelos. Partie I

    le 12 février 2014 à 09:46, par Pierre Lecomte

    Superbe !

    Merci pour ce magnifique article !

    Répondre à ce message
  • L’arbelos. Partie I

    le 12 février 2014 à 14:12, par Hamza Khelif

    Merci Pierre, c’est très gentil.

    Répondre à ce message
  • L’arbelos. Partie I

    le 13 février 2014 à 15:53, par Makou

    Article très intéressant !

    Cependant, j’ai une interrogation.

    Dans la démonstration de l’assertion, il est dit que le diamètre GH du cercle C’ est égal à (ab(a+b))/(a²+ab+b²).

    En même temps, il est dit dans la démonstration du cercle de Bankoff que le rayon O’X du même cercle C’ est aussi égal à (ab(a+b))/(a²+ab+b²).

    N’y a-t-il pas une erreur ?

    Répondre à ce message
    • L’arbelos. Partie I

      le 13 février 2014 à 17:11, par Hamza Khelif

      Oui Makou, tu as raison.
      Dans la relation :
      AG’=(a/b)G’H’, G’H’ a été remplacé par « r = ... » au lieu de « 2r= ... ». Idem pour H’B=(b/a) G’H’.
      Ce qui a donné G’H’=r au lieu de G’H’= 2r.
      On a beau être prudent !
      Merci beaucoup.

      Répondre à ce message

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