L’arbelos. Partie II

Généralisations de l’arbelos. Présentation et généralisations du salinon

Piste rouge Le 12 février 2014  - Ecrit par  Hamza Khelif Voir les commentaires (5)

Nous avons vu, dans la première partie, que l’arbelos, après être tombé dans un oubli profond pendant au moins deux millénaires, attire finalement l’attention des géomètres depuis déjà près de deux siècles, et que, tout récemment, des versions intéressantes de cet objet géométrique ont vu le jour comme le parbelos, le f-belos et l’arbelos hyperbolique ou hyperbelos. Dans cette deuxième partie nous présentons ces objets ainsi que l’objet parent, le salinon et ses généralisations, le parlinon et le f-linon.

Le parbelos

Les paraboles, à l’instar des cercles, sont toutes semblables. Ceci n’est pas vrai pour les ellipses et les hyperboles à cause de l’excentricité. Ce fait a poussé tout récemment la curiosité de Jonathan Sondow de Princeton University (É. U. A.) à chercher l’analogue parabolique de l’arbelos.

Avant de définir le parbelos on rappelle que le latus rectum (Pluriel : latera recta) d’une parabole est la corde focale parallèle à la directrice. La connaissance du latus rectum d’une parabole définit parfaitement (à une symétrie près) cette parabole.

En effet, si $l=4m$ est la longueur de cette corde, on considère dans un plan euclidien rapporté à un repère orthonormal, les points $A(-2m,0)$ et $B(2m,0)$. Le foyer et la directrice de la parabole « concave » souhaitée sont alors l’origine $O(0,0)$ du repère et la droite définie par l’équation $y=2m$. Son paramètre est $p=2m$ (fig. 1).

Une équation cartésienne dans ce repère est donc
\[y=m-\frac{x^2}{4m}.\]

À présent,

Si on remplace dans la définition de l’arbelos les demi-cercles par les arcs sous-tendus par les latera recta $[AB]$, $[AC]$, $[CB]$ des paraboles de foyers les centres respectifs des trois demi-cercles et situés dans le même demi-plan de frontière la droite $(ACB)$, on obtient le parbelos ou arbelos parabolique.

Pour la « construction » de ce parbelos on utilisera, par exemple, les équations des trois arcs qui le délimitent et qu’on peut déduire de ce qui précède, avec des éventuels changements de repère (fig. 2) [1].

Propriétés

Nous donnons ci-dessous les propriétés les plus simples du parbelos
 [2].

1) La longueur de l’arc supérieur d’un parbelos est égale à la somme des longueurs des arcs inférieurs.

2) Si on construit sous les arcs inférieurs d’un parbelos des parbelos semblables au parbelos original alors les deux arcs du milieu des quatre arcs inférieurs obtenus sont isométriques et leur longueur égale la moitié de la moyenne harmonique [3] des longueurs des arcs inférieurs du parbelos de départ (fig. 3).

Comme le rapport de la longueur de l’arc sous-tendu par le latus rectum d’une parabole par le paramètre (la moitié de ce dernier) est le même pour toutes les paraboles (c’est la constante parabolique universelle [4], l’équivalent de $\pi$ pour les cercles), les longueurs des arcs considérés sont proportionnelles aux longueurs des segments qui les sous-tendent. Pour démontrer les égalités annoncées il suffit donc de démontrer ce qui suit.

Si $D$ est un point de $[AC]$ autre que $A$ et $C$, et $E$ un point de $[CB]$ autre que $C$ et $B$ tels que

\[\frac{AC}{CB}=\frac{AD}{DC}=\frac{CE}{EB}\]

alors

\[DC=CE=\frac{AC.CB}{AB}.\]

Preuve

En effet, en échangeant les moyens dans la proportion $\frac{AC}{CB}=\frac{AD}{DC}$ on obtient les égalités
\[\frac{AC}{AD}=\frac{CB}{DC}=\frac{AC+CB}{AD+DC}=\frac{AB}{AC}\]
qui donnent \[DC=\frac{AC.CB}{AB}.\]
De même de la proportion $\frac{AC}{CB}=\frac{CE}{EB}$ il vient
\[\frac{AC}{CE}=\frac{CB}{EB}=\frac{AC+CB}{CE+EB}=\frac{AB}{CB}\]
qui donnent \[CE=\frac{AC.CB}{AB}.\]
D’où les égalités \[DC=CE=\frac{AC.CB}{AB}.\]

3) Dans un parbelos le point anguleux du milieu et les sommets des trois « paraboles » sont les sommets d’un parallélogramme (fig. 4).

4) Les quatre tangentes aux points anguleux d’un parbelos déterminent un rectangle appelé le rectangle tangent du parbelos. Sa diagonale opposée au sommet anguleux est tangente à l’arc supérieur (fig. 5).

Le f-belos

Le travail de Jonathan Sondow ne tarda pas, semble-t-il, à motiver Antonio M. Oller-Marcén [5] à aller plus loin en remplaçant les arcs du parbelos par des arcs semblables déduits de la représentation graphique d’une fonction numérique quelconque définie, continue, positive sur un intervalle fermé et borné de $\bf R$ et s’annulant aux bornes de cet intervalle. Sans nuire à la généralité, on suppose désormais cet intervalle égal à $[0,1]$, i.e. on prend $AB=1.$

Soit alors $f:\left[ {0,1} \right] \to \bf R$ une fonction continue telle que $f(x)>0$ pour $0 < x < 1$ et $f(0)=f(1)=0$. On suppose que $f$ est différentiable sur $]0,1[$.

Pour $p\in]0,1[$ on définit les fonctions $g$ sur $[0,p]$ et $h$ sur $[p,1]$ par $g(x)=pf(\frac{x}{p})$ et $h(x)=(1-p)f(\frac{x-p}{1-p})$. On suppose $g(x) < f(x)$ et $h(x) < f(x)$ pour $x\ne 0$ et $x\ne 1$. L’ensemble des points du plan limité par la réunion des courbes représentatives de ces trois fonctions s’appelle un $f$- belos (fig. 6).

On remarque que pour $f(x)=\sqrt{ x-x^2}$, on obtient l’arbelos ; pour $f(x)= x-x^2 $, on obtient le parbelos ; et pour $f(x)=m\sqrt{ x-x^2}$, $0 < m < 1$, on obtient ce que nous appelons arbelos elliptique puisque les arcs qui le bordent sont des demi-ellipses [6]. Cela fait bien du $f$-belos une généralisation remarquable de son « ancêtre » l’arbelos.

Propriétés

Un $f$- belos jouit, entre autres, des propriétés suivantes qui généralisent les propriétés de l’arbelos et du parbelos [7].

1) La longueur de l’arc supérieur (le grand arc) est égale à la somme de celles des arcs inférieurs (les petits arcs).

En effet, si l’on désigne par $L_f$, $L_g$ et $L_h$ les longueurs des arcs définis respectivement par $f$, $g$ et $h$ on a en vertu de la similitude
\[L_g=pL_f\] et \[L_h=(1-p)L_f.\]
D’où le résultat.

2) Sous chacun des arcs inférieurs d’un $f$- belos on construit un $f$- belos semblable au premier. Alors, des quatre arcs obtenus, les deux arcs du milieu sont isométriques et leur longueur (commune) égale la moyenne harmonique des longueurs des deux arcs inférieurs du $f$- belos de départ (fig. 7).

En effet, si $L_1$, $L_2$, $L_3$ et $L_4$ sont les longueurs des quatre nouveaux arcs, on a, par similitude
\[L_2= \frac{L_g}{L_g +L_h}.L_h=\frac{1}{2}.\frac{2}{\frac{1}{L_g}+\frac{1}{L_h}}=\frac{L_h}{L_g+L_h}.L_g=L_3.\]

3) Soit $x_0\in]0,1[$ et $P_1$ le point de coordonnées $(x_0,f(x_0))$. Comme ce point appartient à l’arc représentant $f$, il lui correspond, par similitude, le point $P_2$ de coordonnées $(px_0,pf(x_0))$ de l’arc représentant $g$ et le point $P_3$ de coordonnées $((1-p)x_0+p,(1-p)f(x_0))$ de l’arc représentant $h$. Soit $P$ le point de coordonnées $(p,0)$. Alors,

Le quadrilatère \[ \mathcal{P}(x_0)=P_1P_2PP_3\]
est un parallélogramme (fig. 8).

En effet, on a \[\overrightarrow {{P_2}{P_1}} = \overrightarrow {P{P_3}} = (1 - p)( x_0,f(x_0)).\]

L’aire du parallélogramme $\mathcal{P}(x_0)$ est égale à $p(1-p)f(x_0).$

Démonstration

Soit $(e_ 1, e_2)$ une base orthonormale « convenable » du plan du $f$-belos et $(e_ 1, e_2, e_3)$ une base orthonormale directe de $\bf R^3$. Dans cette dernière base on a
\[\overrightarrow {{P_2}{P_1}} = (1 - p)(x_0,f(x_0),0)\]
et \[\overrightarrow {{P_2}{P}} = p(1-x_0,-f(x_0),0).\]
D’où
\[\overrightarrow {{P_2}{P_1}} \times \overrightarrow {{P_2}P} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{e_1}}&{{e_2}}&{{e_3}} \\ {(1 - p){x_0}}&{(1 - p)f({x_0})}&0 \\ {p(1 - {x_0})}&{ - pf({x_0})}&0 \end{array}} \right| = -p(1 - p)f(x_0)e_3,\]
où $\times$ désigne le produit vectoriel dans $\bf R^3$.

Il vient donc
\[Aire \mathcal{P}(x_0)=\left\| {\overrightarrow {{P_2}{P_1}} \times \overrightarrow {{P_2}P} } \right\|=\left\| -p(1 - p)f(x_0)e_3 \right\|=p(1-p)f(x_0).\]

4) Le parallélogramme $\mathcal{P}(x_0)$ est un rectangle si, et seulement si, $f(x_0)^2= x_0 -x_0^2$. Par conséquent, le parallélogramme $\mathcal{P}(x_0)$ est un rectangle pour tout $x_0\in]0,1[$ si, et seulement si, le $f$-belos est un arbelos.

Le parallélogramme $\mathcal{P}(x_0)$ est un rectangle si, et seulement si, les vecteurs $\overrightarrow {{P_2}{P_ 1}}$ et $\overrightarrow {{P_2}{P}}$ sont orthogonaux.

Comme \[\overrightarrow {{P_2}{P_1}}= (1 - p)\left( {{x_0},f({x_0})} \right)\] et
\[\overrightarrow {{P_2}{P}} = p(1-x_0,-f(x_0)),\]

le parallélogramme $\mathcal{P}(x_0)$ est un rectangle si, et seulement si,
\[p(1-p)[x_0(1-x_ 0)-f(x_0)^2]=0,\]
donc si, et seulement si, \[f(x_0)^2= x_0-x_ 0^2.\]

5) Soient $c\in]0,1[$ tel que $f(c)$ est la valeur moyenne de $f$ sur l’intervalle $[0,1]$ [8] et $\mathcal{A_f}$ l’aire du $f$-belos, alors
\[\mathcal{A_f}=2Aire \mathcal{P}(c).\]

L’aire $\mathfrak{A}=\int_0^1 {f(x)dx}$ du domaine limité par l’arc représentant $f$ et l’axe des abscisses est la valeur moyenne de $f$ sur $[0,1]$ et il existe $c\in]0,1[$ tel que $\mathfrak{A}=f(c)$. Les aires des domaines limités par les arcs représentant $g$ et $h$ et l’axe des abscisses sont respectivement $p^2 \mathfrak{A}$ et $(1-p)^2 \mathfrak{A}$ (car une similitude de rapport positif $k$ multiplie les longueurs par $k$ et donc les aires par $k^2$), donc l’aire du $f$-belos est \[\mathcal{A_f}=\mathfrak{A}-p^2\mathfrak{A}-(1-p)^2\mathfrak{A}=2p(1-p)f(c).\]

6) Supposons, à présent que $f$ est différentiable en $x=0$ et $x= 1$ (alors $g$ est différentiable en 0 et $p$, et $h$ est différentiable en $p$ et 1). Alors,

Le quadrilatère $T_1T_2T_3P$ déterminé par les quatre tangentes en les points de coordonnées $(0,0)$, $(p,0)$ et $(1,0)$ est un parallélogramme. C’est le parallélogramme tangent du $f$-belos (fig. 9).

Les droites $T_1T_2$ et $PT_3$ (resp. $PT_1$ et $T_3T_2$) sont parallèles puisqu’elles ont le même coefficient directeur $f'(0) = h'(p)$ (resp. $g'(p) = h'(1)$). Donc le quadrilatère $T_1T_2T_3P$ est bien un parallélogramme.

Ce parallélogramme est un rectangle si, et seulement si, \[f'(0) . f'(1)=-1.\]

Le parallélogramme $ T_1T_2T_3P$ est un rectangle si, et seulement si, $\overrightarrow {{T_1}{T_ 2}}$ et $\overrightarrow {{T_3}{T_ 2}}$ par exemple, sont orthogonaux, donc si, et seulement si, \[f'(0) . f'(1)=-1.\]

L’hyperbelos

L’ hyperbelos ou arbelos hyperbolique est une version non euclidienne de l’arbelos ordinaire. Tout se passe dans un disque ouvert où la distance de deux points n’est plus la longueur du segment (euclidien) dont ils sont les extrémités. Vu la particularité de cet objet et son intérêt géométrique, nous l’introduisons dans cet article qui n’est pas obligé de rester euclidien à 100%.

On considère le disque unité ouvert \[ \bf D = \left\{ {z \in \bf C:\left| z \right| < 1} \right\}\] du plan de frontière (horizon) le cercle unité $\bf S^1$ de centre $O$. Ce disque, équipé de la distance \[\delta ({z_1},{z_2}) = 2\arg \tanh \left| {\frac{{{z_2} - {z_1}}}{{1 - {z_1}{{\bar z}_2}}}} \right|\] et appelé disque de Poincaré, est un modèle de géométrie non euclidienne, dite hyperbolique. Les droites (hyperboliques) de $ \bf D$ sont les traces sur $ \bf D$ des droites contenant son centre, et des cercles orthogonaux à $\bf S^1$, c’est-à-dire ceux dont la tangente en un point commun avec $\bf S^1$ est perpendiculaire à la tangente à $\bf S^1$ en ce point.

Les cercles hyperboliques de $\bf D$ sont les cercles du plan inclus dans $\bf D.$ Un cercle non centré en $O$ a un centre euclidien et un centre hyperbolique [9].

Deux droites hyperboliques sont perpendiculaires si leurs supports (euclidiens) sont orthogonaux.

La construction de la version hyperbolique de l’arbelos, dans laquelle tous les objets considérés (droite, segment, cercle, centre, diamètre, etc.) seront dotés de leur nouvelle structure hyperbolique sauf mention du contraire, se déroule comme suit.

Soient $\mathcal{C}_1$ un cercle de diamètre le segment $[AB]$ et $C$ un point de ce diamètre. On construit les cercles $\mathcal{C}_2$ et $\mathcal{C}_3$ de diamètres respectifs $[AC]$ et $[CB]$. Les centres et les points de contact des trois cercles appartiennent à la droite $(AB)$. On obtient alors deux arbelos différents situés de part et d’autre de la droite $(AB)$ (fig. 10). Les tangentes en $A$, $B$, $C$ au cercle support de $(AB)$ donnent les centres euclidiens $O_1$, $O_2$, $O_3$ des trois cercles qui forment les deux arbelos. Les centres hyperboliques de ces cercles sont les points de rencontre respectifs des demi-droites euclidiennes $[OO_1)$, $[OO_2)$, $[OO_3)$ avec la droite hyperbolique $(AB)$.

On démontre que

Les cercles jumeaux d’Archimède de l’hyperbelos sont isométriques pour la métrique hyperbolique si, et seulement si, les cercles intérieurs de l’hyperbelos le sont pour cette métrique.

Le salinon

Un autre objet géométrique attribué à Archimède est le salinon (qui signifie en Grec salière) [10].

Soient $A$, $C$, $D$, $B$ quatre points alignés dans cet ordre et tels que $AC=DB$. Soit $O$ le milieu du segment $[AB]$. Dans le demi-plan supérieur défini par la droite $(AB)$ on construit les demi-cercles de diamètres $AB$, $AC$, $DB$ et dans le demi-plan inférieur le demi-cercle de diamètre $CD$. Le salinon [11] est l’ensemble des points du plan délimité par la réunion des quatre demi-cercles (fig. 11).

Propriétés

Posons $AC = DB=2a$, $CD = 2b$ et $R=AO=2a+b.$

1) La longueur de l’arc supérieur d’un salinon est égale à la somme des longueurs des trois arcs inférieurs.

On a en effet, \[\pi \frac{R-b}{2}+\pi b+\pi\frac{R-b}{2}=\pi R.\]

2) L’aire du salinon est égale à l’aire du disque de diamètre $EF$ où $E$ et $F$ sont les points de rencontre de la médiatrice de $[AB]$ avec la frontière du salinon.

Si $\mathcal{A}$ est l’aire du salinon, on a \[\mathcal{A}=\frac{1}{2} \pi R^2+\frac{1}{2} \pi b^2 - \pi \left(\frac{R - b}{2} \right)^2= \frac{\pi}{4} (R+b)^2=\pi (a+b)^2\] et \[\pi \left(\frac{EF}{2} \right)^2= \frac{\pi}{4} (R+b)^2=\pi (a+b)^2.\]

3) Le quadrilatère formé par les sommets des quatre arcs du salinon est un carré (fig. 12).

On peut facilement vérifier qu’on a les triplets de points alignés suivants :
\[(A,G,E), (G,C,F), (F, D,H), (B,H,E)\]
et que $GH$ et $EF$ sont des diamètres perpendiculaires (de longueur $2(a+b)$) du même cercle.

4) L’aire du domaine délimité par le carré des sommets est égale à \[2(a+b)^2=\frac{2\mathcal{A}}{\pi}.\]

Le parlinon ou salinon parabolique

Si on remplace dans la définition du salinon les demi-cercles par les arcs sous-tendus par les latera recta $[AB]$, $[AC]$, $[DB]$, $[CD]$ des paraboles de foyers les centres respectifs des quatre demi-cercles et situés comme dans le cas du salinon, on obtient ce que nous appelons parlinon ou salinon parabolique (fig. 13) [12].

Propriétés

Pour démontrer ces propriétés on prend $AB=1$ et on considère le repère orthonormal direct d’origine $A$ dans lequel les coordonnées de $B$ sont $(1,0).$
De l’équation d’une parabole définie par son latus rectum donnée ci-dessus, pour $l=4m=1$ et après translation de l’origine au point $(-2m,0)$, on peut considérer les quatre arcs du parlinon comme les courbes représentatives des fonctions suivantes :

$f:\left[ {0,1} \right] \to \bf R$, $f(x)=x-x^2$, $g:\left[ {0,p} \right] \to \bf R$, $g(x)=pf\left( {\frac{x}{p}} \right)$, $h:\left[ {p,1-p} \right] \to \bf R$, $h(x)=(2p-1)f\left( {\frac{x-p}{1-2p}} \right)$ et $k:\left[ {1-p,1} \right] \to \bf R$,
$k(x)=pf\left( {\frac{x-1+p}{p}} \right)$ avec $0 < p < \frac{1}{2}$.

1) La longueur de l’arc supérieur du parlinon est égale à la somme des longueurs des quatre arcs inférieurs.

En effet, si l’on désigne par $L_f$, $L_g$, $L_h$ et $L_k$ les longueurs des arcs définis respectivement par $f$, $g$, $h$ et $k$ on a en vertu de la similitude
\[L_g=pL_f,\] \[L_h=(1-2p)L_f, \] et \[L_k=pL_f, \]
d’où le résultat.

2) Les points de rencontre $T$, $T_1$, $T_2$, $T_3$ des quatre tangentes aux points $A(0,0)$, $B(1,0)$, $C(p,0)$, $D(1-p,0)$ sont les sommets d’un carré. C’est le carré tangent du parlinon (fig. 14).

Un calcul simple nous donne immédiatement
\[g'(0)= h'(1-p)=k'(1-p)=f'(0)=1\] et \[g'(p)= h'(p)=k'(1)=f'(1)=-1.\]
Ayant le même coefficient directeur, les droites $(T_1T)$ et $(T_2T_3)$ sont parallèles. Les droites $(T_2T_1)$ et $(T_3T)$ sont aussi parallèles pour la même raison. Et comme le produit des coefficients directeurs de deux côtés consécutifs est égal à $-1$, ces côtés sont perpendiculaires.

Donc le quadrilatère $ T T_1T_2T_3$ est un rectangle.

En outre, la médiatrice de $[AB]$ étant un axe de symétrie de la figure, les diagonales $TT_2$ et $T_1T_3$ du rectangle $TT_1T_2T_3$ sont perpendiculaires, ce qui fait de ce dernier un carré.

3) Le quadrilatère formé par les sommets des quatre arcs délimitant le parlinon est un losange (fig. 15).

Avec les mêmes notations que ci-dessus, soient $S\left( {\frac{1}{2},f\left({\frac{1}{2}} \right)} \right)$, $S_1\left( {\frac{p}{2},g\left( {\frac{p}{2}} \right)} \right)$, $S_2\left( {\frac{1}{2},h\left( {\frac{1}{2}} \right)} \right)$ et $S_3\left( {\frac{1-p}{2},k\left( {\frac{1-p}{2}} \right)} \right)$ les sommets des arcs représentant respectivement $f$, $g$, $h$ et $k$. On a alors
\[\overrightarrow {{S_1}S} = \left( {\frac{{1 - p}}{2},\frac{{1 - p}}{4}} \right) = \overrightarrow {{S_2}{S_3}}.\]
Donc $S_1S_2S_3S$ est un parallélogramme, et comme les diagonales $S_1S_3$ et $S_2S$ sont visiblement perpendiculaires, c’est un losange.

Le f-linon

Par analogie avec le $f$-belos nous présentons le $f$-linon comme suit.

Soit $f:\left[ {0,1} \right] \to \bf R$ une fonction continue telle que $f(x)>0$ pour $0 < x < 1$ et $f(0)=f(1)=0$. On suppose que $f$ est différentiable sur $]0,1[$. Pour
$0 < p < \frac{1}{2}$ on considère les fonctions $g:\left[ {0,p} \right] \to \bf R$, $h:\left[ {p,1-p} \right] \to \bf R$ et $k:\left[ {1-p,1} \right] \to \bf R$ par
\[g(x)=pf\left( {\frac{x}{p}} \right), h(x)=(2p-1)f\left( {\frac{x-p}{1-2p}} \right), k(x)=pf\left( {\frac{x-1+p}{p}} \right).\]

L’ensemble des points du plan limité par la réunion des courbes représentatives
de ces quatre fonctions sera appelé le $f$-linon (fig. 16).

Propriétés

1) La longueur de l’arc supérieur (le grand arc) d’un $f$-linon est égale à la somme des longueurs des quatre arcs inférieurs.

En effet, si l’on désigne par $L_f$, $L_g$, $L_h$ et $L_k$ les longueurs des arcs définis respectivement par $f$, $g$, $h$ et $k$ on a en vertu de la similitude de ces arcs
\[L_g=pL_f,\] \[L_h=(1-2p)L_f, \] et \[L_k=pL_f, \]
d’où le résultat annoncé.

2) Supposons, que $f$ est différentiable en $x=0$ et $x= 1$ et que $f'(1)=-f'(0)$. Alors le quadrilatère déterminé par les quatre tangentes en les points de coordonnées $(0,0)$, $(p,0)$, $(1-p,0)$ et $(1,0)$ est un parallélogramme. C’est le parallélogramme tangent du $f$-linon.

Comme $f$ est différentiable en $x=0$ et $x=1$ alors $g$ est différentiable en 0 et $p$, $h$ est différentiable en $p$ et $1-p$ et $k$ en $1-p$ et 1. Un calcul direct donne alors
\[g'(0)= h'(1-p)=k'(1-p)=f'(0)\] et \[g'(p)= h'(p)=k'(1)=f'(1).\]
Les quatre tangentes forment bien un parallélogramme.

Remarque

Pour $f(x)=\sqrt{ x-x^2}$ on obtient le salinon ; pour $f(x)= x-x^2 $ on obtient le parlinon ; et pour $f(x)=m\sqrt{ x-x^2}$, $0 < m < 1$, on obtient le salinon elliptique puisque les arcs qui le bordent sont des demi-ellipses [13].

Conclusion

Dans la première partie de cet article nous avons défini l’arbelos et présenté ses propriétés les plus connues. Nous y avons également exposé des objets associés à l’arbelos, en particulier les cercles archimédiens et l’empilement de cercles apolloniens qui nous a conduits à une fractale : la baderne d’Apollonius.

Dans cette deuxième partie nous avons exposé les versions actuellement connues de l’arbelos ainsi que l’objet géométrique proche, le salinon, que nous avons généralisé, lui aussi, au salinon parabolique et au f-linon.

Il nous appartient donc d’explorer ces objets, en particulier l’arbelos hyperbolique ; étudier ses propriétés, les objets qui lui sont associés, établir par exemple, les versions analogues aux théorèmes d’Apollonius et de Descartes, étudier la baderne hyperbolique, etc. Pour l’arbelos elliptique, étudier l’existence d’un éventuel empilement d’ellipses, d’une baderne elliptique, ...

Voilà donc une intéressante activité mathématique à laquelle il faudrait bien songer !

Références

1. Chaim Goodman-Strauss. “Compass and Straightedge in the Poincaré Disk.” The American Mathematical Monthly. 108 (2001).

2. Antonio M. Oller-Marcén, The $f$-belos. Forum Geometricorum, Volume 13 (2013) 103–111.

3. J. Sondow, The parbelos, a parabolic analog of the arbelos. arXiv:1210.2279v3 [math.HO] 4 May 2013.

4. Megan Ternes,Tangent circles in the hyperbolic disk, Rose-Hulman Undergraduate Mathematics Journal, Volume 14, No. 1, Spring 2013.

5. Emmanuel Tsukerman, Solution of Sondow’s problem : a synthetic proof of the tangency property of the parbelos. arXiv:1210.5580v1 [math.MG] 20 Oct 2012.

Post-scriptum :

L’auteur tient à remercier Serge Cantat, responsable de la rubrique Objet du mois, pour ses suggestions et ses conseils durant la rédaction de l’article et Carole Gaboriau pour ses remarques qui ont fait passer l’article du « petit billet » à l’état actuel. Les remerciements vont aussi au relecteur Thierry Barbot pour ses judicieuses remarques, au relecteur Jean Lefort et au relecteur dont le pseudonyme est Diego pour leurs remarques utiles.

Article édité par Serge Cantat

Notes

[1On peut aussi continuer la lecture de l’article pour voir que le parbelos est un cas particulier de $f$-belos pour une fonction $f$ définie par $f(x)=ax-x^2 $ avec un $a>0$ quelconque.

[2Les démonstrations de ces propriétés se déduisent de celles des propriétés du $f$-belos. Pour les détails, consulter les références 2. et 3.

[3La moyenne harmonique $h$ des nombres réels strictement positifs $a$ et $b$ est définie par la relation \[\frac{2}{h}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}.\]

[4La constante parabolique universelle est \[\mathfrak{p} = \sqrt 2 + \ln \left( {1 + \sqrt 2 } \right) = 2,2955871... .\]

[5Centro Universitario de la Defensa, Academia General Militar, Ctra.
de Huesca, s/n, 50090 Zaragoza, Spain.

[6

[7La référence 1. est à ma connaissance la seule référence actuellement disponible.

[8Soit $[a,b]$ un intervalle non réduit à un point et $f$ une fonction continue sur $[a,b]$. La valeur moyenne de $f$ sur $[a,b]$ est le nombre réel \[m = \frac{1}{{b - a}}\int_a^b {f(x)dx}.\] Il existe un réel $c$ dans $]0,1[$ tel que $m=f(c).$

[9Le cercle hyperbolique de centre $H$ (distinct de $O$) contenant le point $A$ est le cercle euclidien de centre $E$ contenant $A$ où $E$ est le point de rencontre de la droite des centres $(OH)$ avec la tangente en $A$ au cercle support de la droite hyperbolique $(AH).$

[10Toutes les sources disponibles se contentent de donner la définition et la propriété de l’aire du salinon. Je tente ici d’en donner des propriétés élémentaires et des généralisations en imitant ce qui a été fait pour l’arbelos.

[11Le salinon est introduit pour la première fois dans le Livre des Lemmes, travail attribué à Archimède par Thabit Ibn Qurra.

[12Ici je reproduis grosso modo les articles Parlinon et $f$-linon du manuscrit de la deuxième édition de mon livre « Le jardin des courbes. Dictionnaire raisonné des courbes planes célèbres et remarquables ».

[13

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Hamza Khelif — «L’arbelos. Partie II» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Commentaire sur l'article

  • L’arbelos. Partie II

    le 13 février 2014 à 18:33, par Michel Marcus

    L’article de Jonathan Sondow, « The parbelos, a parabolic analog of the arbelos », a été publié par l’American Mathematical Monthly, Vol. 120, No. 10 (December), pp. 929-935 (http://www.jstor.org/stable/10.4169/amer.math.monthly.120.10.929).

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  • L’arbelos. Partie II

    le 13 février 2014 à 22:50, par Jonathan Sondow

    Note 2 dit « Les démonstrations de ces propriétés [du parbelos] se déduisent de celles des propriétés du f-belos. » Mais ce n’est pas vrai pour la partie de la propriété 4 du parbelos qui dit « [La] diagonale [du rectangle tangent du parbelos] opposée au sommet anguleux est tangente à l’arc supérieur. » Le f-belos n’a pas cette propriété du parbelos. (Pour cette raison, il n’y a pas de diagonale dans fig. 9.) Il y a des démonstrations du propriété 4 du parbelos dans mon article et l’article de Tsukerman (les références 3 et 5).

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  • L’arbelos. Partie II

    le 14 février 2014 à 09:35, par Hamza Khelif

    Je suis content de te lire. Tu es un pionnier de ce sujet.

    Dans cette note 2 il y a un renvoi à la référence 2. Le f-belos, pour f(x)= x-x^2, est un parbelos qui reste toutefois un f-belos. À la page 111 de cette référence on a d’une façon ou d’une autre cette propriété. J’avais cette intention.

    J’aurais peut-être dû indiquer les références 3 et 5 dans cette note.

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    • L’arbelos. Partie II

      le 14 février 2014 à 15:12, par Jonathan Sondow

      Merci pour tes mots bien gentils.

      Dans « The f-belos » on peut lire : « Parbeloses are the only f-beloses such that the diagonal of [the tangent parallelogram] opposite to the cusp is tangent to f at (p,f(p)). » C’est dans ce sens que j’ai voulu dire que le f-belos n’a pas la propriété du tangent sauf si le f-belos est un parbelos.

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  • L’arbelos. Partie II

    le 14 février 2014 à 15:33, par Hamza Khelif

    Merci Jonathan pour ces explications.

    Mon « article » reste insuffisant si on ne se réfère pas aux références et plus particulièrement à ton article initiateur.

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